Contre-exemples

• Convergence simple sans convergence uniforme
• Limite des dérivées ≠ dérivée de la limite
• Fonction intégrable non continue
• Série convergente non absolument convergente
• Fermé borné non compact (dim infinie)
• Connexe mais pas connexe par arcs
• Fonction dérivable mais pas $C^1$
• Groupe non abélien
• Anneau commutatif non intègre
• Anneau principal non euclidien
• Matrice réelle non diagonalisable sur $\mathbb{R}$
• Matrice trigonalisable non diagonalisable
• Variables non corrélées mais dépendantes
• Ouvert de $\mathbb{R}$ non connexe
• Continue mais non uniformément continue
• Ensemble non mesurable
• Bijection linéaire continue non bicontinue (dim $\infty$)
• Sous-groupe non distingué
• Série de Fourier divergente ponctuellement
• Convergence $L^1$ sans convergence p.p.
• Borne inférieure non atteinte
• Dérivée nulle p.p. mais non constante
• Produit de fonctions $L^1$ intégrables non intégrable
• Anneau factoriel non principal
• Surjection non bijective d'un ensemble sur lui-même
• Suite de Cauchy non convergente
• Limites non interchangeables
• Compact non séquentiellement compact (espaces non métriques)
• Normes non équivalentes en dimension infinie
• Convergence en probabilité mais pas p.s.
• Convergence en loi mais pas en probabilité
• Variables non corrélées mais non indépendantes
• Variable aléatoire sans espérance (loi de Cauchy)
• Variance infinie avec espérance finie
• Somme de v.a. de même loi qui ne suit pas la même loi
• Convergence p.s. sans convergence $L^2$
• Chaîne de Markov irréductible non réversible
• Surface non orientable (ruban de Möbius)
• Courbe continue non rectifiable (Koch)
• Ensemble convexe non fermé et projection non unique
• Isométrie affine qui n'est pas linéaire
• Courbe continue sans tangente en tout point (Weierstrass)
• Projection non unique sur un convexe (norme non strictement convexe)
• Géodésique qui n'est pas un plus court chemin
• Quadrique dégénérée (cône, cylindre)
• Opérateur borné non compact
• Sous-espace dense propre (non fermé)