Leçon 304 — Loi des grands nombres. Théorème de la limite centrale.

Points clés

• Loi faible des grands nombres
• Loi forte des grands nombres
• Théorème de la limite centrale
• Convergence en loi vers la gaussienne
• Applications statistiques

Plan

1. Loi faible des grands nombres
   • Énoncé : [formule] pour des [formule] i.i.d. intégrables
   • Démonstration dans le cas [formule] par l'inégalité de Tchebychev
   • Démonstration générale par les fonctions caractéristiques
2. Loi forte des grands nombres
   • Énoncé : [formule] pour des [formule] i.i.d. intégrables
   • Idée de la preuve : contrôle des moments d'ordre [formule] et Borel-Cantelli
   • Version de Kolmogorov pour des variables indépendantes (non identiquement distribuées)
3. Théorème de la limite centrale
   • Énoncé : [formule] pour [formule] i.i.d. avec [formule], [formule]
   • Démonstration par les fonctions caractéristiques : [formule]
   • Théorème de continuité de Lévy
4. Vitesse de convergence
   • Inégalité de Berry-Esseen : [formule]
   • Développements d'Edgeworth
   • Correction de continuité pour les v.a. discrètes
5. Applications
   • Intervalles de confiance asymptotiques : [formule]
   • Méthode de Monte-Carlo : estimation de [formule] par [formule]
   • Approximation normale de la loi binomiale : [formule]

Théorèmes clés

• Loi faible des grands nombres : si [formule] i.i.d. [formule], alors [formule]
• Loi forte des grands nombres (Kolmogorov) : si [formule] i.i.d. intégrables, [formule]
• Théorème de la limite centrale : si [formule] i.i.d. [formule], [formule]
• Théorème de continuité de Lévy : [formule] ssi [formule] pour tout [formule]

Exemples importants

• Fréquence empirique : [formule] p.s.
• Estimation de [formule] par Monte-Carlo : lancer dans le carré [formule] et compter les points dans le quart de disque
• Approximation de [formule] par [formule]
• Le théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein (preuve probabiliste)

Erreurs courantes

• Confondre convergence en probabilité et convergence presque sûre
• Appliquer le TCL sans vérifier l'existence de la variance
• Oublier le facteur [formule] dans la normalisation du TCL

Conseils du jury

• La démonstration du TCL par les fonctions caractéristiques est un développement phare
• Illustrer la loi des grands nombres par une simulation ou un exemple concret
• Le jury attend qu'on distingue clairement loi faible et loi forte

Développements associés

• Loi forte des grands nombres
• Théorème central limite via fonctions caractéristiques
• Méthode de Monte Carlo
• Distribution stationnaire des chaînes de Markov
• Bornes de Chernoff
• Fonctions caractéristiques
• Fonction caractéristique de la loi gaussienne
• Inégalité de Hoeffding
• Loi (forte) des grands nombres
• Propriétés de la loi normale
• Consistance du maximum de vraisemblance
• Formule de Stirling
• Inégalité de Tchebychev
• Théorème central limite
• Théorème de continuité de Lévy
• Théorème ergodique pour les chaînes de Markov
• Théorème de Slutsky

Prérequis

variables aleatoires discretes, fonctions caracteristiques, convergences probabilistes