Leçon 306 — Fonctions génératrices. Applications.

Points clés

• Fonction génératrice des probabilités
• Fonction génératrice des moments
• Fonction caractéristique
• Caractérisation de la loi par la fonction génératrice
• Applications au calcul de lois de sommes

Plan

1. Fonction génératrice des probabilités
   • Définition pour [formule] à valeurs dans [formule] : [formule]
   • Rayon de convergence [formule] et [formule]
   • Extraction des probabilités : [formule]
2. Propriétés des fonctions génératrices
   • Calcul des moments : [formule], [formule]
   • Produit pour des v.a. indépendantes : [formule]
   • Caractérisation : la f.g.p. détermine la loi de [formule]
3. Fonction génératrice des moments
   • Définition : [formule] définie sur un intervalle contenant [formule]
   • Calcul des moments : [formule]
   • Avantage : s'applique aux v.a. continues ; inconvénient : n'existe pas toujours
4. Fonction caractéristique
   • Définition : [formule], définie pour tout [formule]
   • Propriétés : [formule], [formule], [formule]
   • Caractérisation de la loi : la fonction caractéristique détermine la loi (injectivité)
5. Théorème de continuité de Lévy
   • Énoncé : [formule] ssi [formule] pour tout [formule]
   • Application à la démonstration du TCL
   • Formule d'inversion de Fourier pour les densités
6. Applications
   • Calcul de la f.g.p. des lois classiques : Poisson, binomiale, géométrique
   • Fonction caractéristique de la loi normale : [formule]
   • Utilisation pour prouver la stabilité des familles de lois par convolution

Théorèmes clés

• La fonction génératrice des probabilités caractérise la loi : si [formule] sur [formule], alors [formule] et [formule] ont même loi
• Pour [formule] indépendantes à valeurs dans [formule] : [formule]
• Théorème de continuité de Lévy : [formule] ssi [formule] pour tout [formule], la limite étant continue en [formule]
• Formule d'inversion : si [formule], alors [formule] admet une densité [formule]

Exemples importants

• F.g.p. de la loi de Poisson : [formule], retrouver [formule] et [formule]
• Fonction caractéristique de la loi de Cauchy : [formule], pas de moment d'ordre [formule]
• Preuve que la somme de Poisson indépendantes est Poisson via les f.g.p.

Erreurs courantes

• Confondre fonction génératrice des probabilités, des moments et fonction caractéristique
• Oublier que la f.g.m. n'existe pas toujours (ex. loi de Cauchy)
• Négliger l'hypothèse de continuité en [formule] dans le théorème de Lévy

Conseils du jury

• Savoir calculer rapidement la fonction caractéristique de la loi normale
• Le théorème de Lévy est un outil puissant : montrer qu'on sait l'utiliser (notamment pour le TCL)
• Le jury apprécie la comparaison entre les trois types de fonctions génératrices

Développements associés

• Fonction caractéristique de la loi gaussienne
• Théorème de continuité de Lévy
• Approximation de Poisson
• Bornes de Chernoff
• Convolution de lois binomiales
• File d'attente M/M/1
• Fonctions caractéristiques
• Séries génératrices
• Produit de Cauchy de séries
• Récurrence de la marche aléatoire
• Problème de la ruine du joueur

Prérequis

series entieres, variables aleatoires discretes, transformee fourier