Leçon 203 — Utilisation de la notion de compacité.
Points clés
Définitions équivalentes en espace métrique : recouvrement, séquentiel, BW
Compacts de [formule] : théorème de Heine-Borel (fermé borné)
Image continue d'un compact est compacte
Théorème des bornes atteintes
Théorème d'Ascoli : caractérisation des compacts de [formule]
Compacité et continuité uniforme
Applications en analyse fonctionnelle et optimisation
Plan
Définitions et caractérisations de la compacité
Compacité par recouvrement ouvert
Compacité séquentielle en espace métrique
Précompacité et complétude
Théorème de Heine-Borel dans [formule]
Propriétés fondamentales des compacts
Image continue d'un compact est compacte
Toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes
Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (Heine)
Compacité en dimension finie
Boule unité fermée compacte en dimension finie
Équivalence des normes en dimension finie (via compacité de la sphère)
Théorème de Riesz : la boule unité est compacte ssi dimension finie
Compacité dans les espaces de fonctions
Théorème d'Ascoli-Arzelà
Application au théorème de Peano (existence pour les EDO)
Compacts de [formule] : théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov
Compacité et topologie
Compact dans un séparé est fermé
Tout compact métrique est séparable
Produit de compacts est compact (Tychonoff)
Applications
Optimisation : existence de minimums sur les compacts
Point fixe de Brouwer (énoncé)
Extraction de sous-suites convergentes en analyse
Théorèmes clés
Théorème de Heine-Borel : une partie de [formule] est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée
Théorème d'Ascoli : [formule] est relativement compacte pour [formule] si et seulement si [formule] est équicontinue et ponctuellement bornée
Théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée de [formule] on peut extraire une sous-suite convergente
Théorème de Riesz : dans un espace vectoriel normé, la boule unité fermée est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie
Théorème de Heine : toute fonction continue sur un compact est uniformément continue
Exemples importants
Le segment [formule] est compact : théorème des bornes atteintes pour [formule] continue sur [formule]
La sphère unité [formule] est compacte : permet de prouver l'équivalence des normes en dimension finie
Théorème de Peano via Ascoli : existence de solutions pour [formule] avec [formule] continue
Les ensembles de sous-niveau [formule] d'une fonction coercive continue sont compacts
Compacité de la boule unité de [formule] pour la topologie faible (mention)
Erreurs courantes
Affirmer que fermé et borné implique compact dans un espace de Banach de dimension infinie (faux : la boule unité fermée de [formule] n'est pas compacte)
Oublier l'hypothèse d'équicontinuité dans Ascoli et ne vérifier que la bornitude ponctuelle
Confondre compacité séquentielle et compacité par recouvrement (équivalentes en métrique mais pas en général)
Conseils du jury
Le titre dit « Utilisation » : le jury attend des applications variées et pas seulement des rappels de topologie
Bien distinguer dimension finie (où compact = fermé borné) et dimension infinie
Ascoli est un résultat incontournable qui doit être maîtrisé avec sa preuve