Leçon 412 — Courbes paramétrées dans ℝ² et ℝ³. Courbure, torsion.

Points clés

• Courbe paramétrée régulière
• Abscisse curviligne et repère de Frenet
• Courbure d'une courbe plane et spatiale
• Torsion d'une courbe de l'espace
• Formules de Frenet-Serret

Plan

1. Courbes paramétrées : rappels
   • Arc paramétré [formule] de classe [formule]
   • Point régulier ([formule]), point birégulier ([formule] et [formule] non colinéaires en dim [formule])
   • Paramétrage par l'abscisse curviligne : [formule]
2. Repère de Frenet dans le plan
   • Vecteur tangent [formule] et vecteur normal [formule] (rotation [formule])
   • Courbure signée : [formule]
   • Formules de Frenet en dimension [formule] : [formule], [formule]
3. Repère de Frenet dans [formule]
   • Vecteur tangent [formule], vecteur normal principal [formule], vecteur binormal [formule]
   • Courbure : [formule]
   • Torsion : [formule]
4. Formules de Frenet-Serret
   • Système : [formule], [formule], [formule]
   • Écriture matricielle antisymétrique
   • Interprétation géométrique : [formule] mesure la déviation du plan osculateur, [formule] mesure la torsion hors du plan
5. Formules en paramétrage quelconque
   • Courbure dans [formule] : [formule]
   • Courbure dans [formule] : [formule]
   • Torsion : [formule]
6. Théorème fondamental des courbes
   • Énoncé : [formule] et [formule] déterminent la courbe à déplacement rigide près
   • Courbes planes : [formule] caractérise les courbes contenues dans un plan
   • Hélice circulaire : [formule] et [formule] constants

Théorèmes clés

• Formules de Frenet-Serret : [formule]
• Théorème fondamental des courbes : deux fonctions continues [formule] et [formule] déterminent, à isométrie directe près, une unique courbe birégulière de [formule]
• Caractérisation des courbes planes : une courbe de [formule] est plane ssi [formule]
• Caractérisation des hélices : [formule] ssi la courbe fait un angle constant avec une direction fixe (hélice généralisée)

Exemples importants

• Cercle de rayon [formule] : [formule] (constante), [formule]
• Hélice circulaire [formule] : [formule], [formule]
• Courbe de Viviani : intersection d'un cylindre et d'une sphère
• Cycloïde : point de rebroussement ([formule] aux cusps)

Erreurs courantes

• Confondre courbure signée (en dimension [formule]) et courbure (toujours [formule] en dimension [formule])
• Appliquer Frenet en un point non birégulier
• Oublier que les formules de courbure et torsion changent selon le paramétrage

Conseils du jury

• Les formules de Frenet-Serret et leur démonstration sont un développement classique
• Savoir calculer courbure et torsion sur des exemples concrets sans hésiter
• Le théorème fondamental des courbes mérite d'être énoncé et discuté

Développements associés

• Formules de Frenet-Serret
• Courbes à courbure et torsion prescrites
• Caustique du cercle
• Courbure d'une courbe plane
• Courbure et torsion d'une courbe de l'espace
• Enveloppe de droites tangentes
• Formule de longueur d'arc
• Théorème de Gauss-Bonnet
• Théorème de Gauss-Bonnet pour les surfaces
• Spirale et similitude

Prérequis

calcul differentiel, produit vectoriel, courbes parametrees