Leçon 307 — Convergence des variables aléatoires. Modes de convergence.

Points clés

• Convergence presque sûre
• Convergence en probabilité
• Convergence en loi
• Convergence dans [formule]
• Implications entre les modes de convergence

Plan

1. Convergence presque sûre
   • Définition : [formule]
   • Caractérisation : [formule], [formule]
   • Critère de Borel-Cantelli : si [formule] pour tout [formule]
2. Convergence en probabilité
   • Définition : [formule], [formule]
   • Convergence p.s. implique convergence en probabilité
   • Réciproque partielle : de toute suite convergeant en probabilité, on peut extraire une sous-suite convergeant p.s.
3. Convergence dans [formule]
   • Définition : [formule]
   • Convergence [formule] implique convergence en probabilité (Markov)
   • Convergence [formule] implique convergence [formule] pour [formule] (Jensen)
   • Théorème de convergence dominée comme outil
4. Convergence en loi
   • Définition : [formule] en tout point de continuité de [formule]
   • Caractérisation par les fonctions caractéristiques (Lévy)
   • Convergence en probabilité implique convergence en loi (réciproque fausse en général)
5. Relations entre les modes de convergence
   • Hiérarchie : p.s. [formule] proba [formule] loi ; [formule] proba
   • Contre-exemples pour les réciproques
   • Théorème de Scheffé : convergence des densités implique convergence en loi
6. Compléments : Slutsky et applications
   • Théorème de Slutsky : si [formule] et [formule], alors [formule]
   • Application au TCL avec variance estimée
   • Méthode delta : [formule] et sa loi asymptotique

Théorèmes clés

• Hiérarchie des convergences : convergence p.s. [formule] convergence en probabilité [formule] convergence en loi, et convergence [formule] convergence en probabilité
• Théorème de Slutsky : si [formule] et [formule] (constante), alors [formule] et [formule]
• Théorème de Scheffé : si [formule] p.p. (densités), alors [formule]
• Théorème de sous-suite : [formule] ssi de toute sous-suite on peut extraire une sous-sous-suite convergeant p.s.

Exemples importants

• Convergence en probabilité mais pas p.s. : indicatrices d'intervalles glissants [formule] sur [formule]
• Convergence en loi mais pas en probabilité : [formule] i.i.d. converge en loi vers [formule] mais pas en probabilité
• Convergence p.s. mais pas [formule] : [formule] converge p.s. vers [formule] mais [formule]

Erreurs courantes

• Croire que convergence en loi implique convergence en probabilité
• Oublier que la convergence [formule] n'implique pas la convergence p.s.
• Confondre convergence en loi vers une constante et convergence en probabilité vers cette constante (qui sont équivalentes)

Conseils du jury

• Avoir un diagramme clair des implications entre les modes de convergence avec les contre-exemples
• Le théorème de Slutsky est souvent négligé mais très utile en statistique
• Le jury apprécie des contre-exemples précis et bien expliqués

Développements associés

• Contre-exemples en convergence
• Théorème de Slutsky
• Approximation de Poisson
• Lemme de Borel-Cantelli
• Lemmes de Borel-Cantelli et applications
• Convergence des martingales bornées dans L²
• Loi (forte) des grands nombres
• Loi de l'arc sinus
• Loi forte des grands nombres
• Consistance du maximum de vraisemblance
• Inégalité de Tchebychev
• Théorème central limite
• Théorème central limite via fonctions caractéristiques
• Théorème de continuité de Lévy
• Théorème ergodique pour les chaînes de Markov

Prérequis

espaces probabilises, variables aleatoires discretes, integration lebesgue