Leçon 262 — Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires.

Points clés

• Convergence presque sûre : [formule]
• Convergence en probabilité : [formule]
• Convergence en loi : [formule] aux points de continuité de [formule]
• Convergence [formule] : [formule]
• Implications : p.s. [formule] proba [formule] loi, et [formule] proba
• Contre-exemples montrant que les réciproques sont fausses
• Loi des grands nombres et théorème central limite

Plan

1. Définitions des modes de convergence
   • Convergence presque sûre, en probabilité, en loi, dans [formule]
   • Caractérisation séquentielle de la convergence en loi
   • Convergence en loi via les fonctions caractéristiques (Lévy)
2. Implications entre les modes
   • p.s. [formule] probabilité [formule] loi
   • [formule] probabilité (Markov)
   • [formule] pour [formule] (Hölder)
3. Contre-exemples
   • Convergence en probabilité mais pas p.s. (machine à écrire : blocs de [formule])
   • Convergence en loi mais pas en probabilité ([formule] vs [formule] avec [formule] symétrique)
   • Convergence p.s. mais pas dans [formule] (sans domination)
4. Résultats complémentaires
   • Théorème de Scheffé : convergence des densités implique convergence en loi et dans [formule]
   • Théorème de la sous-suite : en probabilité implique p.s. le long d'une sous-suite
   • Lemme de Borel-Cantelli et convergence p.s.
5. Loi des grands nombres
   • Loi faible des grands nombres : convergence en probabilité de [formule] vers [formule]
   • Loi forte : convergence p.s.
   • Hypothèses : indépendance, intégrabilité
6. Théorème central limite
   • Énoncé : [formule]
   • Preuve via les fonctions caractéristiques
   • Applications : intervalles de confiance, approximation normale de la binomiale

Théorèmes clés

• Loi forte des grands nombres : si [formule] sont i.i.d. avec [formule], alors [formule]
• Théorème central limite : si [formule] sont i.i.d. avec [formule] et [formule], alors [formule]
• Théorème de continuité de Lévy : [formule] si et seulement si [formule] pour tout [formule]
• Lemme de Borel-Cantelli : si [formule] alors [formule], et si les [formule] sont indépendants et [formule] alors [formule]

Exemples importants

• Machine à écrire (typewriter sequence) : convergence en probabilité vers [formule] mais pas p.s.
• Pile ou face : [formule] p.s. (loi forte) et [formule] (TCL)
• Approximation de [formule] par Monte-Carlo : [formule] p.s. avec [formule]
• Convergence [formule] mais pas p.s. : choisir judicieusement des indicatrices d'intervalles de plus en plus petits
• Convergence en loi vers une constante implique convergence en probabilité

Erreurs courantes

• Affirmer que convergence en probabilité implique convergence p.s. (faux, seulement le long d'une sous-suite)
• Confondre convergence en loi et convergence en probabilité (en loi est strictement plus faible sauf vers une constante)
• Oublier l'hypothèse de variance finie dans le TCL

Conseils du jury

• Connaître les contre-exemples par cœur : ils montrent une vraie compréhension des différents modes
• Savoir démontrer la loi faible des grands nombres par Tchebychev est un minimum attendu
• L'idée de preuve du TCL via les fonctions caractéristiques (développement de [formule] à l'ordre 2) est très appréciée

Développements associés

• Loi (forte) des grands nombres
• Théorème central limite
• Lemme de Borel-Cantelli
• Lemmes de Borel-Cantelli et applications
• Contre-exemples en convergence
• Convergence des martingales bornées dans L²
• Fonctions caractéristiques
• Loi forte des grands nombres
• Méthode de Monte Carlo
• Théorème central limite via fonctions caractéristiques
• Théorème de continuité de Lévy
• Théorème de Slutsky

Prérequis

convergences