Leçon 228 — Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle.

Points clés

• Continuité : définition séquentielle et par [formule]-[formule]
• Continuité uniforme et théorème de Heine
• Théorème des valeurs intermédiaires
• Dérivabilité : définition, interprétation géométrique
• Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
• Dérivées successives et formule de Taylor
• Fonctions de classe [formule] et [formule]

Plan

1. Continuité
   • Définitions équivalentes (séquentielle, [formule]-[formule])
   • Opérations sur les fonctions continues
   • Continuité uniforme : définition et exemples
2. Grands théorèmes sur les fonctions continues
   • Théorème des valeurs intermédiaires
   • Image continue d'un compact : théorème des bornes atteintes
   • Théorème de Heine : continue sur un compact implique uniformément continue
3. Dérivabilité
   • Définition : [formule]
   • Dérivable implique continue (réciproque fausse : [formule])
   • Opérations : somme, produit, quotient, composition
4. Théorèmes fondamentaux
   • Théorème de Rolle : si [formule] et [formule] dérivable, [formule]
   • Théorème des accroissements finis (TAF)
   • Application : [formule] sur un intervalle implique [formule] constante
5. Formules de Taylor
   • Taylor-Young : [formule]
   • Taylor avec reste intégral
   • Taylor-Lagrange : reste [formule]
6. Applications
   • Développements limités et calculs de limites
   • Étude de fonctions : variations, concavité
   • Règle de L'Hôpital

Théorèmes clés

• Théorème des valeurs intermédiaires : si [formule] est continue, alors [formule] prend toute valeur comprise entre [formule] et [formule]
• Théorème de Rolle : si [formule] est continue sur [formule], dérivable sur [formule] et [formule], alors il existe [formule] tel que [formule]
• Théorème des accroissements finis : sous les mêmes hypothèses, [formule]
• Formule de Taylor-Young : si [formule] est [formule] fois dérivable en [formule], [formule]

Exemples importants

• [formule] : continue en [formule] mais non dérivable en [formule]
• [formule] (complétée par [formule]) : dérivable en [formule] mais [formule] n'est pas continue en [formule]
• Fonction de Weierstrass : continue partout, dérivable nulle part (existence par Baire)
• Développement limité de [formule], [formule], [formule], [formule]
• [formule] : continue sur [formule] mais pas uniformément continue sur [formule]

Erreurs courantes

• Affirmer que dérivable implique [formule] continue (faux : [formule])
• Oublier les hypothèses de Rolle : continuité sur le fermé [formule] et dérivabilité sur l'ouvert [formule]
• Confondre le TAF (égalité) et l'inégalité des accroissements finis (pour les fonctions à valeurs vectorielles)

Conseils du jury

• Avoir un panorama de contre-exemples : continue non dérivable, dérivable avec dérivée discontinue, etc.
• Savoir appliquer Taylor dans les deux sens : développement et estimation de restes
• Le jury apprécie la mention de la généralisation aux fonctions à valeurs vectorielles (inégalité des accroissements finis)

Développements associés

• Théorème de Rolle et applications
• Convexité et applications
• Applications de la connexité
• Contre-exemples de convergence
• Interpolation de Lagrange
• Fonctions monotones et dérivabilité
• Point fixe et suites itérées
• Théorème des valeurs intermédiaires
• Théorème de Weierstrass

Prérequis

derivation