Leçon 160 — Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien.
Points clés
- Adjoint
- Endomorphismes symétriques, orthogonaux
- Endomorphismes positifs
- Décomposition polaire
- Racine carrée
Plan
- Rappels sur les espaces euclidiens
- Produit scalaire, norme, orthogonalité
- Cauchy-Schwarz
- Gram-Schmidt
- Endomorphismes symétriques
- [formule]
- Théorème spectral : diagonalisable en BON
- Valeurs propres réelles, espaces propres orthogonaux
- Endomorphismes orthogonaux
- [formule]
- [formule], [formule]
- Classification en dimension [formule] et [formule]
- Endomorphismes positifs
- [formule] : symétrique à v.p. [formule]
- Racine carrée positive unique
- Ordre partiel
- Décomposition polaire
- [formule] avec [formule] orthogonal, [formule] symétrique défini positif, unique
- [formule]
- Interprétation géométrique
- Applications
- SVD : [formule]
- Eckart-Young : meilleure approximation de rang [formule]
- Moindres carrés : [formule]
Théorèmes clés
- Théorème spectral : symétrique = diagonalisable en BON
- Décomposition polaire : [formule] unique avec [formule] orthogonal, [formule] symétrique défini positif
- Racine carrée : unique [formule] symétrique positif tel que [formule]
- Classification dim [formule] : rotations ([formule]) et réflexions ([formule])
Exemples importants
- Projection orthogonale : symétrique, positive, idempotente
- Rotation d'angle [formule] en dim [formule]
- Réflexion : [formule]
- Décomposition polaire d'une [formule]
- SVD et valeurs singulières
Erreurs courantes
- Confondre symétrique et matrice symétrique (dépend de la base)
- La polaire nécessite [formule] inversible pour l'unicité
- Toute isométrie n'est pas une rotation en dim impaire
Conseils du jury
- Le spectral et sa démonstration sont attendus
- Savoir calculer une décomposition polaire
- La SVD et ses applications sont appréciées
Développements associés
Prérequis
espaces euclidiens