Leçon 404 — Courbes planes. Études locales et globales.

Points clés

• Courbes paramétrées et courbes implicites
• Tangente, points singuliers, branches infinies
• Courbure et rayon de courbure
• Points d'inflexion et concavité
• Courbes classiques

Plan

1. Courbes paramétrées : généralités
   • Arc paramétré : application [formule], [formule]
   • Point régulier : [formule] ; point singulier : [formule]
   • Reparamétrage et invariance des propriétés géométriques
2. Étude locale
   • Vecteur tangent en un point régulier : [formule]
   • Étude des points singuliers : développement de Taylor, points de rebroussement
   • Point de rebroussement de première et deuxième espèce
3. Courbure
   • Abscisse curviligne : [formule]
   • Courbure : [formule]
   • Rayon de courbure [formule] et centre de courbure
   • Développée : lieu des centres de courbure
4. Branches infinies et asymptotes
   • Direction asymptotique : [formule]
   • Asymptote rectiligne : [formule] quand [formule]
   • Branche parabolique : direction asymptotique sans asymptote
5. Courbes implicites
   • Définition : [formule]
   • Théorème des fonctions implicites : existence locale d'un paramétrage
   • Points singuliers d'une courbe implicite : [formule]
6. Exemples de courbes classiques
   • Cycloïde : [formule], [formule] (brachistochrone)
   • Cardioïde : [formule] en polaires
   • Lemniscate de Bernoulli : [formule]

Théorèmes clés

• Formule de la courbure : [formule]
• Longueur d'un arc : [formule]
• Théorème des fonctions implicites : si [formule] et [formule], alors localement [formule]
• Formule des quatre sommets : toute courbe fermée convexe simple de [formule] admet au moins [formule] sommets (extrema de la courbure)

Exemples importants

• Cycloïde : point de rebroussement de première espèce en [formule], longueur d'une arche [formule]
• Astroïde : [formule], quatre points de rebroussement
• Spirale logarithmique : [formule], autosimiilaire
• Développée de l'ellipse : astroïde

Erreurs courantes

• Confondre point de rebroussement et point double (auto-intersection)
• Oublier de vérifier la régularité avant d'appliquer les formules de courbure
• Ne pas distinguer branche parabolique et asymptote

Conseils du jury

• Savoir tracer et étudier complètement une courbe (régularité, tangentes, concavité, branches infinies)
• Avoir plusieurs courbes classiques en réserve avec leurs propriétés
• Le jury apprécie une présentation soignée avec des dessins

Développements associés

• Courbure d'une courbe plane
• Formule de longueur d'arc
• Caustique du cercle
• Coniques
• Propriété foyer-directrice des coniques
• Courbes à courbure et torsion prescrites
• Courbure et torsion d'une courbe de l'espace
• Enveloppe de droites tangentes
• Formules de Frenet-Serret
• Théorème des fonctions implicites
• Propriété de réflexion de l'ellipse
• Spirale et similitude

Prérequis

calcul differentiel, courbes parametrees, integrales