Leçon 314 — Marches aléatoires. Exemples et applications.

Points clés

• Marche aléatoire simple sur [formule]
• Récurrence et transience
• Loi de l'arc-sinus
• Principe de réflexion
• Applications : ruine du joueur, trajectoires

Plan

1. Marche aléatoire simple sur [formule]
   • Définition : [formule] avec [formule], [formule]
   • Espérance [formule] et variance [formule]
   • Cas symétrique [formule] : [formule], martingale
2. Récurrence et transience
   • Probabilité de retour à l'origine : [formule] (cas symétrique)
   • Récurrence en dimension [formule] et [formule] (théorème de Pólya)
   • Transience en dimension [formule]
3. Temps d'atteinte et principe de réflexion
   • Temps d'atteinte [formule]
   • Principe de réflexion : [formule] pour [formule]
   • Loi du maximum : [formule]
4. Loi de l'arc-sinus
   • Dernier retour à l'origine avant le temps [formule] : [formule]
   • Convergence vers la loi de l'arc-sinus : densité [formule] sur [formule]
   • Temps passé du côté positif : même loi de l'arc-sinus
5. Problème de la ruine du joueur
   • Joueur de fortune initiale [formule] contre un adversaire de fortune [formule]
   • Probabilité de ruine : cas [formule] et cas [formule]
   • Durée moyenne du jeu
6. Généralisations
   • Marche aléatoire sur [formule] et récurrence de Pólya
   • Invariance de Donsker : convergence vers le mouvement brownien
   • Marche aléatoire sur un graphe

Théorèmes clés

• Théorème de récurrence de Pólya : la marche aléatoire simple symétrique sur [formule] est récurrente si [formule] et transiente si [formule]
• Principe de réflexion : pour la marche symétrique, [formule] pour [formule]
• Loi de l'arc-sinus : la proportion du temps passé du côté positif par une marche symétrique converge en loi vers [formule], de densité [formule]
• Ruine du joueur : si [formule], la probabilité de ruine à partir de [formule] est [formule] où [formule]

Exemples importants

• Marche symétrique sur [formule] : récurrente mais pas de moment fini pour le temps de retour
• Trajectoire d'une marche de [formule] pas : nombre de chemins de Dyck et nombres de Catalan
• Marche aléatoire biaisée ([formule]) : [formule] p.s.

Erreurs courantes

• Confondre récurrence (retour p.s.) et récurrence positive (temps de retour moyen fini)
• Appliquer le principe de réflexion sans vérifier la symétrie
• Oublier que récurrence en dimension [formule] est un résultat non trivial

Conseils du jury

• La récurrence de la marche en dimension [formule] et [formule] (Pólya) est un développement classique
• La loi de l'arc-sinus est un résultat surprenant que le jury apprécie
• Savoir traiter le problème de la ruine avec les deux méthodes : martingale et récurrence

Développements associés

• Récurrence de la marche aléatoire
• Loi de l'arc sinus
• Principe de réflexion
• Problème de la ruine du joueur
• Théorème d'arrêt de Doob

Prérequis

espaces probabilises, series numeriques, combinatoire