Leçon 311 — Vecteurs gaussiens. Propriétés.

Points clés

• Définition d'un vecteur gaussien
• Caractérisation par la fonction caractéristique
• Matrice de covariance et densité
• Propriétés des lois gaussiennes : stabilité, indépendance et non-corrélation
• Conditionnement gaussien

Plan

1. Définition et caractérisation
   • Vecteur gaussien : [formule] tel que toute combinaison linéaire [formule] est gaussienne
   • Fonction caractéristique : [formule]
   • Paramètres : [formule] (vecteur moyenne) et [formule] (matrice de covariance)
2. Densité d'un vecteur gaussien
   • Cas non dégénéré ([formule] inversible) : [formule]
   • Cas dégénéré : le vecteur vit dans un sous-espace affine
   • Lien avec la diagonalisation de [formule] et les composantes principales
3. Propriétés de stabilité
   • Toute transformation affine d'un vecteur gaussien est gaussienne : [formule]
   • Les marginales d'un vecteur gaussien sont gaussiennes
   • Somme de vecteurs gaussiens indépendants : stabilité
4. Indépendance et non-corrélation
   • Théorème fondamental : pour un vecteur gaussien, non-corrélation équivaut à indépendance
   • Démonstration par la factorisation de la fonction caractéristique
   • Conséquence : [formule] et [formule] indépendantes ssi [formule]
5. Conditionnement gaussien
   • Loi conditionnelle de [formule] sachant [formule] : gaussienne
   • Espérance conditionnelle : [formule] (régression linéaire)
   • Variance conditionnelle : [formule] (matrice de Schur)
6. Applications
   • Régression linéaire gaussienne et moindres carrés
   • Théorème de Cochran et décomposition de la variance
   • Analyse en composantes principales (ACP) : diagonalisation de [formule]

Théorèmes clés

• Caractérisation : [formule] est un vecteur gaussien ssi [formule] pour un vecteur [formule] et une matrice [formule]
• Pour un vecteur gaussien, indépendance [formule] non-corrélation : [formule]
• Théorème de Cochran : si [formule] et [formule], alors les projections orthogonales [formule] sont indépendantes et [formule]
• Conditionnement gaussien : la loi de [formule] est [formule]

Exemples importants

• Vecteur gaussien standard [formule] : composantes i.i.d. [formule]
• Couple [formule] gaussien avec [formule] : [formule]
• Théorème de Cochran appliqué à [formule] et [formule] : indépendance de la moyenne et de la variance empiriques

Erreurs courantes

• Croire que des marginales gaussiennes impliquent un vecteur gaussien (faux en général)
• Confondre non-corrélation et indépendance hors du cadre gaussien
• Oublier que la matrice de covariance doit être symétrique semi-définie positive

Conseils du jury

• L'équivalence indépendance/non-corrélation est un résultat central : savoir le démontrer
• Le théorème de Cochran est un développement apprécié pour cette leçon
• Le jury attend une maîtrise du conditionnement gaussien et ses formules

Développements associés

• Indépendance des vecteurs gaussiens
• Régression linéaire gaussienne
• Coefficient de corrélation
• Fonctions caractéristiques
• Fonction caractéristique de la loi gaussienne
• Propriétés de la loi normale
• Théorème central limite
• Théorème central limite via fonctions caractéristiques

Prérequis

algebre lineaire, variables aleatoires densite, fonctions caracteristiques