Leçon 310 — Probabilités conditionnelles. Formule de Bayes.

Points clés

• Probabilité conditionnelle : définition
• Formule des probabilités totales
• Formule de Bayes
• Indépendance conditionnelle
• Applications : tests, diagnostics

Plan

1. Probabilité conditionnelle
   • Définition : [formule] pour [formule]
   • La loi conditionnelle [formule] est une probabilité sur [formule]
   • Formule des probabilités composées : [formule]
2. Formule des probabilités totales
   • Système complet d'événements [formule] : [formule], [formule]
   • Formule : [formule]
   • Version continue : [formule]
3. Formule de Bayes
   • Énoncé : [formule]
   • Interprétation bayésienne : probabilité a priori vs a posteriori
   • Vraisemblance et loi a posteriori
4. Espérance conditionnelle
   • Espérance conditionnelle sachant un événement : [formule]
   • Espérance conditionnelle sachant une variable aléatoire : [formule]
   • Propriétés : linéarité, formule de la tour [formule]
5. Indépendance conditionnelle
   • Définition : [formule] et [formule] conditionnellement indépendants sachant [formule]
   • Indépendance conditionnelle n'implique pas l'indépendance (et réciproquement)
   • Application aux modèles graphiques (réseaux bayésiens)
6. Applications
   • Test de diagnostic médical : sensibilité, spécificité, valeur prédictive positive
   • Le paradoxe de Monty Hall par les probabilités conditionnelles
   • Filtre bayésien naïf pour la classification

Théorèmes clés

• Formule de Bayes : [formule] avec [formule]
• Formule des probabilités totales : pour un système complet [formule], [formule]
• Formule de la tour : [formule] (loi des espérances itérées)
• Formule de la variance totale : [formule]

Exemples importants

• Test médical : prévalence [formule], sensibilité [formule], spécificité [formule] : [formule]
• Paradoxe de Monty Hall : changer de porte donne une probabilité [formule] de gagner
• Urne de Pólya : loi conditionnelle et mise à jour bayésienne
• Tirages sans remise : probabilités conditionnelles successives

Erreurs courantes

• Confondre [formule] et [formule] (erreur du procureur)
• Négliger la prévalence (probabilité a priori) dans l'interprétation d'un test
• Oublier la condition [formule] dans la définition de [formule]

Conseils du jury

• L'erreur du procureur est un exemple frappant que le jury apprécie
• Maîtriser l'espérance conditionnelle à la fois comme variable aléatoire et comme projection [formule]
• Illustrer Bayes par un exemple numérique concret

Développements associés

• Applications du théorème de Bayes
• Espérance conditionnelle dans L²
• Lemmes de Borel-Cantelli et applications
• Régression linéaire gaussienne
• Problème de la ruine du joueur
• Théorème d'arrêt de Doob

Prérequis

espaces probabilises, variables aleatoires discretes