Leçon 236 — Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales.

Points clés

• Intégration par parties : [formule]
• Changement de variable : [formule]
• Décomposition en éléments simples pour les fractions rationnelles
• Intégrales de Wallis et formule de Stirling
• Utilisation de la symétrie, de la parité, de la périodicité
• Méthode des résidus pour les intégrales réelles (mention)
• Intégrales dépendant d'un paramètre : dérivation et récurrences

Plan

1. Primitives et intégration par parties
   • Rappel : [formule]
   • Exemples : [formule], [formule], [formule]
   • Formules de réduction : [formule]
2. Changement de variable
   • Substitutions classiques : [formule], [formule]
   • Changement en coordonnées polaires : [formule]
   • Symétries : parité, périodicité
3. Fractions rationnelles
   • Décomposition en éléments simples sur [formule]
   • Intégration : [formule], etc.
   • Cas des pôles multiples
4. Intégrales classiques
   • Intégrales de Wallis : [formule]
   • Formule de Stirling : [formule]
   • Intégrale de Gauss : [formule]
5. Méthodes utilisant les intégrales à paramètre
   • Dérivation sous le signe intégral : [formule]
   • Récurrences sur les intégrales : [formule] vérifie une relation de récurrence
   • Domination et interversion
6. Méthodes complexes (mention)
   • Théorème des résidus : [formule]
   • Exemple : [formule]
   • Intégrales trigonométriques via le cercle unité

Théorèmes clés

• Intégration par parties : [formule] pour [formule]
• Changement de variable : si [formule] est un [formule]difféomorphisme, alors [formule]
• Formule de Stirling : [formule] quand [formule]
• Équivalent de Wallis : [formule]

Exemples importants

• Intégrale de Gauss par Fubini : [formule] (passage en polaires)
• Intégrales de Wallis et [formule]
• [formule] par intégrale à paramètre [formule]
• [formule] par symétrie et changement de variable
• Calcul de [formule] par développement en série

Erreurs courantes

• Oublier la valeur absolue du jacobien dans un changement de variable multidimensionnel
• Se lancer dans un calcul de primitive sans exploiter les symétries ou les propriétés de la fonction
• Confondre l'intégrale de Lebesgue et l'intégrale impropre : [formule] converge en impropre mais [formule]

Conseils du jury

• Le titre dit « illustrer par des exemples » : il faut donc beaucoup d'exemples variés et pas seulement de la théorie
• Maîtriser les calculs classiques (Gauss, Wallis, Stirling) est indispensable
• Le jury apprécie qu'on montre plusieurs méthodes pour une même intégrale

Développements associés

• Intégrales de Wallis et formule de Stirling
• Techniques de calcul intégral
• Formule intégrale de Cauchy
• Centre de gravité des solides
• Dérivation sous le signe intégral
• Fonction Gamma d'Euler
• Formule de longueur d'arc
• Théorème de Fubini
• Fonctions Gamma et Beta
• Méthode de Monte Carlo
• Théorème des résidus
• Formule de Stirling

Prérequis

integration