Leçon 235 — Intégrales dépendant d'un paramètre, dérivation et limite sous le signe intégral.

Points clés

• Continuité sous le signe intégral
• Dérivation sous le signe intégral (théorème de Leibniz)
• Limite et intégrale : théorème de convergence dominée comme outil fondamental
• Holomorphie sous le signe intégral
• Application aux fonctions définies par des intégrales (Gamma, Fourier, Laplace)
• Régularité des convolutions

Plan

1. Cadre et hypothèses
   • Fonction [formule]
   • Hypothèse de domination : [formule] avec [formule]
   • Rôle central du théorème de convergence dominée
2. Continuité sous le signe intégral
   • Théorème : si [formule] est continue et [formule], alors [formule] est continue
   • Application : continuité de la transformée de Fourier sur [formule]
   • Continuité de la convolution
3. Dérivation sous le signe intégral
   • Théorème de Leibniz : si [formule] existe, est continue en [formule] et dominée par [formule], alors [formule]
   • Hypothèse de domination locale suffit
   • Itération : dérivées d'ordre supérieur
4. Limite sous le signe intégral
   • Application directe du théorème de convergence dominée
   • Interversion limite-intégrale
   • Cas de la convergence monotone
5. Holomorphie sous le signe intégral
   • Si [formule] est holomorphe et dominée, alors [formule] est holomorphe
   • Application : la fonction [formule] est holomorphe sur [formule]
   • Prolongement analytique via intégrales
6. Applications
   • Fonction Gamma : [formule], classe [formule] et prolongement
   • Transformée de Fourier : régularité liée à la décroissance
   • Calcul de [formule] par intégrale paramétrique

Théorèmes clés

• Continuité sous l'intégrale : si [formule] est continue pour presque tout [formule] et [formule], alors [formule] est continue
• Dérivation sous l'intégrale (Leibniz) : si [formule] existe, est continue en [formule], et [formule], alors [formule] est [formule] et [formule]
• Convergence dominée (comme outil) : si [formule] p.p. et [formule], alors [formule]
• Holomorphie sous l'intégrale : si [formule] est holomorphe pour presque tout [formule] et [formule] pour [formule] dans un compact, alors [formule] est holomorphe

Exemples importants

• Fonction Gamma : [formule] est [formule] sur [formule] avec [formule]
• Calcul de [formule] en introduisant [formule] et dérivant
• Transformée de Fourier de [formule] : [formule]
• Intégrales de Wallis par récurrence : [formule] et formule de Wallis
• Convolution : si [formule] et [formule], alors [formule]

Erreurs courantes

• Oublier de vérifier la domination (condition la plus importante et la plus souvent négligée)
• Appliquer la dérivation sous l'intégrale sans vérifier que la dérivée partielle est dominée indépendamment de [formule]
• Confondre les bornes d'intégration variables (formule de Leibniz avec bornes) et les bornes fixes

Conseils du jury

• Savoir appliquer ces théorèmes sur des exemples concrets : le jury demande souvent de calculer une intégrale ou de montrer la régularité d'une fonction
• Le calcul de [formule] est un développement très classique et très apprécié
• Bien distinguer les hypothèses de chaque théorème (continuité, dérivation, limite) et ne pas les confondre

Développements associés

• Dérivation sous le signe intégral
• Fonction Gamma d'Euler
• Techniques de calcul intégral
• Théorème de convergence dominée
• Fonction caractéristique de la loi gaussienne
• Transformée de Fourier dans L¹
• Théorème de Fubini
• Fonctions Gamma et Beta

Prérequis

integration, convergences integrales