Leçon 234 — Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Points clés

• Construction de l'intégrale de Lebesgue : fonctions étagées, positives, intégrables
• Espaces [formule] : définition, normes, complétude (Riesz-Fischer)
• Théorème de convergence dominée de Lebesgue
• Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)
• Théorème de Fubini-Tonelli
• Comparaison intégrales de Riemann et Lebesgue
• Dualité : [formule] pour [formule]

Plan

1. Construction de l'intégrale de Lebesgue
   • Mesure, tribu, espace mesuré
   • Fonctions mesurables et fonctions étagées
   • Intégrale des fonctions étagées positives, puis des fonctions positives, puis intégrables
2. Théorèmes de convergence
   • Convergence monotone (Beppo Levi) : [formule] implique [formule]
   • Lemme de Fatou : [formule]
   • Convergence dominée : [formule] p.p., [formule] implique [formule]
3. Espaces [formule]
   • Définition : [formule] quotienté par l'égalité p.p.
   • Inégalités de Hölder et Minkowski : [formule], [formule]
   • Complétude : théorème de Riesz-Fischer
4. Théorème de Fubini-Tonelli
   • Tonelli pour les fonctions positives : on peut intervertir les intégrales
   • Fubini pour les fonctions intégrables
   • Application : calcul de [formule]
5. Comparaison Riemann-Lebesgue
   • Toute fonction Riemann-intégrable sur [formule] est Lebesgue-intégrable (et les intégrales coïncident)
   • Avantage de Lebesgue : théorèmes de convergence, espaces [formule]
   • Intégrales impropres et intégrabilité au sens de Lebesgue
6. Dualité et applications
   • [formule] pour [formule], [formule]
   • Application aux EDP et à l'analyse fonctionnelle
   • Densité dans [formule] : fonctions simples, [formule]

Théorèmes clés

• Théorème de convergence dominée : si [formule] p.p., [formule] avec [formule], alors [formule] et [formule]
• Théorème de convergence monotone (Beppo Levi) : si [formule] p.p., alors [formule] (éventuellement [formule])
• Lemme de Fatou : pour [formule] suite de fonctions mesurables positives, [formule]
• Théorème de Riesz-Fischer : [formule] est complet pour [formule]
• Théorème de Fubini : si [formule], alors [formule]

Exemples importants

• La fonction [formule] est Lebesgue-intégrable (d'intégrale [formule]) mais pas Riemann-intégrable
• Calcul de l'intégrale de Gauss [formule] par Fubini en passant en polaires
• Convergence dominée appliquée à [formule]
• Échange somme-intégrale via convergence monotone : [formule]
• Espace [formule] : espace de Hilbert avec le produit scalaire [formule]

Erreurs courantes

• Oublier la fonction de domination dans le théorème de convergence dominée (la convergence p.p. seule ne suffit pas)
• Confondre intégrabilité au sens de Lebesgue et convergence de l'intégrale impropre : [formule] est intégrable en impropre mais pas Lebesgue-intégrable sur [formule]
• Appliquer Fubini sans vérifier l'intégrabilité (Tonelli pour les fonctions positives, Fubini pour les intégrables)

Conseils du jury

• Bien maîtriser les trois théorèmes de convergence (dominée, monotone, Fatou) et savoir quand appliquer lequel
• Le calcul de l'intégrale de Gauss par Fubini est un classique incontournable
• Savoir expliquer clairement pourquoi l'intégrale de Lebesgue est plus puissante que celle de Riemann

Développements associés

• Théorème de convergence dominée
• Théorème de Fubini
• Techniques de calcul intégral
• Lemme de Fatou
• Transformée de Fourier dans L¹
• Convolution et séries de Fourier
• Inégalités de Hölder et Minkowski
• Inégalité de Jensen
• Fonctions monotones et dérivabilité
• Théorème de Plancherel
• Théorème de représentation de Riesz

Prérequis

integration lebesgue