Leçon 226 — Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence.
Points clés
Suites [formule] : convergence et points fixes
Stabilité des points fixes : [formule] implique convergence locale
Récurrences linéaires d'ordre [formule] : espace des solutions de dimension [formule]
Polynôme caractéristique des récurrences linéaires
Suites vectorielles [formule] : lien avec la réduction de [formule]
Méthode de Newton : [formule]
Plan
Suites [formule] : cadre général
Points fixes de [formule] comme limites possibles
Si [formule] et [formule] continue, alors [formule]
Monotonie et convergence : suites croissantes majorées ou décroissantes minorées
Stabilité des points fixes
Point fixe attractif : [formule]
Point fixe répulsif : [formule]
Vitesse de convergence : linéaire, quadratique
Récurrences linéaires d'ordre [formule]
[formule] : structure vectorielle
Polynôme caractéristique et expression du terme général
Cas des racines simples, multiples, complexes
Suites vectorielles [formule]
Solution : [formule]
Calcul de [formule] par réduction de [formule]
Convergence : [formule] ssi [formule]
Méthode de Newton
Définition : [formule]
Convergence quadratique au voisinage d'une racine simple
Conditions suffisantes de convergence
Applications
Suite de Fibonacci : [formule] et le nombre d'or
Algorithme babylonien pour [formule]
Systèmes dynamiques discrets : orbites, cycles
Théorèmes clés
Théorème du point fixe attractif : si [formule] est [formule] avec [formule] et [formule], alors pour [formule] assez proche de [formule], la suite [formule] converge vers [formule]
Terme général des récurrences linéaires : si le polynôme caractéristique [formule] a des racines [formule] de multiplicités [formule], alors [formule] où [formule]
Convergence de [formule] vers [formule] si et seulement si le rayon spectral [formule]
Convergence de Newton : si [formule], [formule], [formule] et [formule] est assez proche de [formule], alors [formule] (convergence quadratique)
Exemples importants
Suite de Fibonacci : [formule] avec [formule] et [formule]
Méthode de Héron [formule] : convergence quadratique vers [formule]
Suite logistique [formule] : bifurcations et chaos pour [formule] croissant
Suite [formule] : convergence vers l'unique point fixe de [formule] (point de Dottie)
Récurrence [formule] : suite arithmétique [formule]
Erreurs courantes
Conclure que [formule] dès que [formule] sans vérifier que [formule] est dans le bassin d'attraction
Oublier les termes polynomiaux [formule] dans le cas de racines multiples du polynôme caractéristique
Confondre convergence de la méthode de Newton (locale) et convergence globale
Conseils du jury
Bien maîtriser l'étude complète d'une suite [formule] : existence du terme général, monotonie, convergence, limite
La suite de Fibonacci avec la formule explicite via le nombre d'or est un classique attendu
La méthode de Newton est un très bon développement : convergence quadratique et lien avec le calcul numérique