Norme et distance associée, boules ouvertes et fermées
Norme d'opérateur et espace [formule]
Équivalence des normes en dimension finie
Continuité et linéarité : équivalence avec la bornitude sur la boule unité
Dual topologique [formule]
Théorèmes de Banach-Steinhaus, de l'application ouverte, du graphe fermé
Norme subordonnée pour les matrices
Plan
Espaces vectoriels normés : définitions et exemples
Norme, semi-norme, espace normé
Exemples : [formule] avec les normes [formule], [formule], [formule]
Espaces [formule], [formule], [formule]
Dimension finie
Toutes les normes sont équivalentes en dimension finie
Conséquences topologiques : compacité de la boule unité fermée
Tout sous-espace de dimension finie est fermé
Applications linéaires continues
Caractérisation : linéaire et continue ssi linéaire et bornée sur la boule unité
Norme d'opérateur : [formule]
[formule] est un espace normé, Banach si [formule] est Banach
Dual topologique
Formes linéaires continues et noyau fermé
[formule] est toujours un espace de Banach
Exemples : dual de [formule], dual de [formule]
Grands théorèmes de l'analyse fonctionnelle
Banach-Steinhaus (uniforme bornitude)
Théorème de l'application ouverte (Banach-Schauder)
Théorème du graphe fermé
Applications
Norme subordonnée de matrices et rayon spectral
Continuité d'opérateurs intégraux
Convergence d'opérateurs et séries de Neumann
Théorèmes clés
Théorème d'équivalence des normes : sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes
Caractérisation de la continuité : une application linéaire [formule] entre evn est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité, ssi [formule]
Théorème de Banach-Steinhaus : si [formule] avec [formule] Banach et [formule] pour tout [formule], alors [formule]
Théorème de Riesz : dans un evn, la boule unité fermée est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie
Exemples importants
L'opérateur de dérivation [formule] n'est pas continu
L'intégrale [formule] est une forme linéaire continue sur [formule] de norme [formule]
Normes subordonnées : [formule] (plus grande valeur singulière)
L'injection [formule] est continue de norme [formule]
Le dual de [formule] est [formule] et le dual de [formule] est [formule] pour [formule], [formule]
Erreurs courantes
Oublier l'hypothèse « [formule] complet » dans Banach-Steinhaus (ou l'application ouverte, ou le graphe fermé)
Confondre norme d'opérateur et rayon spectral : [formule] mais l'égalité est rare
Penser que toute application linéaire est continue (vrai seulement en dimension finie)
Conseils du jury
Savoir démontrer l'équivalence des normes en dimension finie est un classique attendu
Bien distinguer les différentes normes d'opérateurs et savoir les calculer sur des exemples matriciels
Avoir un exemple d'application linéaire non continue en dimension infinie (dérivation sur [formule] avec la norme sup)