Leçon 158 — Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Points clés

• Diagonalisation orthogonale
• Valeurs propres réelles
• Théorème spectral
• Rayleigh
• Matrices positives

Plan

1. Matrices symétriques réelles
   • [formule], [formule]
   • Valeurs propres réelles
   • Diagonalisation orthogonale : [formule] avec [formule]
2. Théorème spectral
   • Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en BON
   • Preuve par récurrence
   • Version hermitienne
3. Quotient de Rayleigh
   • [formule]
   • [formule], [formule]
   • Courant-Fischer
4. Matrices positives et définies positives
   • [formule] positive : [formule], ssi valeurs propres [formule]
   • [formule] définie positive : [formule] pour [formule]
   • Critère de Sylvester : mineurs principaux dominants [formule]
5. Racine carrée et décomposition polaire
   • Racine carrée symétrique positive unique
   • Décomposition polaire : [formule] unique
   • Lien avec la SVD
6. Applications
   • Formes quadratiques réelles et signature
   • ACP en statistique
   • Inégalité de Hadamard

Théorèmes clés

• Théorème spectral : [formule] est orthogonalement diagonalisable
• Rayleigh : [formule]
• Critère de Sylvester : [formule] définie positive ssi [formule] pour tout [formule]
• Racine carrée : unique [formule] tel que [formule]

Exemples importants

• Matrice de Gram : symétrique positive, définie positive ssi famille libre
• [formule] : valeurs propres [formule], définie positive
• ACP : diagonalisation de la matrice de covariance
• Laplacien de graphe : symétrique positive, plus petite v.p. [formule]
• Décomposition polaire d'une matrice [formule]

Erreurs courantes

• Confondre matrice positive et à coefficients positifs
• Le spectral est spécifique aux symétriques/hermitiennes
• Sylvester : seulement pour la définie positivité

Conseils du jury

• Démonstration du spectral par récurrence est un classique
• Rayleigh et Courant-Fischer pour encadrer les v.p.
• Distinguer positive, définie positive, semi-définie positive

Développements associés

• Théorème spectral
• Quotient de Rayleigh
• Formes bilinéaires et quadratiques
• Classification des quadriques
• Classification des quadriques de R³
• Décomposition polaire
• Extrema de fonctions
• Racine carrée d'une matrice
• Réduction simultanée
• Loi de Sylvester

Prérequis

espaces euclidiens, reduction endomorphismes