Leçon 406 — Surfaces de ℝ³. Première et deuxième forme fondamentale.

Points clés

• Surface régulière et paramétrage
• Plan tangent et vecteur normal
• Première forme fondamentale : métrique induite
• Deuxième forme fondamentale : courbure
• Courbure de Gauss et courbure moyenne

Plan

1. Surfaces régulières
   • Paramétrage : [formule], [formule] avec [formule]
   • Plan tangent en [formule] : [formule]
   • Vecteur normal unitaire : [formule]
2. Première forme fondamentale
   • Définition : [formule] pour [formule] (métrique induite)
   • Coefficients : [formule], [formule], [formule]
   • Applications : calcul de longueurs, d'angles et d'aires sur la surface
3. Deuxième forme fondamentale
   • Application de Gauss (ou application normale) : [formule]
   • Endomorphisme de Weingarten : [formule] (autoadjoint)
   • Deuxième forme fondamentale : [formule], coefficients [formule]
4. Courbures
   • Courbures principales [formule] : valeurs propres de [formule]
   • Courbure de Gauss : [formule]
   • Courbure moyenne : [formule]
5. Theorema Egregium de Gauss
   • Énoncé : la courbure de Gauss [formule] ne dépend que de la première forme fondamentale
   • Conséquence : [formule] est un invariant intrinsèque (invariant par isométrie locale)
   • On ne peut pas aplatir une sphère sans la déformer : [formule]
6. Applications
   • Sphère de rayon [formule] : [formule], [formule]
   • Surfaces minimales : [formule] (caténoïde, hélicoïde)
   • Théorème de Gauss-Bonnet : [formule] (formule topologique)

Théorèmes clés

• Theorema Egregium de Gauss : la courbure de Gauss [formule] d'une surface est un invariant de la première forme fondamentale (invariant isométrique)
• Théorème de Gauss-Bonnet : pour une surface compacte orientable sans bord, [formule] où [formule] est la caractéristique d'Euler
• Formule de la courbure de Gauss : [formule] en termes des coefficients des deux formes fondamentales
• Les surfaces minimales (surfaces d'aire minimale à bord fixé) sont caractérisées par [formule]

Exemples importants

• Sphère [formule] : [formule] (constante), [formule], Gauss-Bonnet donne [formule]
• Cylindre : [formule], développable (isométrique localement au plan)
• Tore : régions de courbure positive (extérieur) et négative (intérieur), Gauss-Bonnet donne [formule]
• Pseudosphère (surface de révolution de la tractrice) : [formule] constante

Erreurs courantes

• Confondre courbure de Gauss (intrinsèque) et courbure moyenne (extrinsèque)
• Oublier que le Theorema Egregium dit que [formule] ne dépend que de [formule] et de leurs dérivées
• Appliquer Gauss-Bonnet sans vérifier que la surface est compacte sans bord

Conseils du jury

• Le Theorema Egregium est un développement incontournable pour cette leçon
• Savoir calculer les courbures sur des exemples concrets (sphère, cylindre, tore)
• Le théorème de Gauss-Bonnet illustre magnifiquement le lien entre géométrie et topologie

Développements associés

• Theorema Egregium de Gauss
• Théorème de Gauss-Bonnet
• Théorème de Gauss-Bonnet pour les surfaces
• Théorème des fonctions implicites
• Quadrique réglée

Prérequis

calcul differentiel, formes bilineaires, courbes parametrees