Leçon 405 — Convexité dans ℝⁿ. Théorèmes de séparation.

Points clés

• Ensembles convexes : définition et exemples
• Enveloppe convexe et points extrémaux
• Projection sur un convexe fermé
• Théorèmes de séparation par un hyperplan
• Applications en optimisation

Plan

1. Ensembles convexes
   • Définition : [formule] convexe si [formule]
   • Exemples : boules, demi-espaces, polyèdres, épigraphes de fonctions convexes
   • Opérations : intersection, somme de Minkowski, image par application linéaire
2. Enveloppe convexe
   • Définition : plus petit convexe contenant un ensemble [formule]
   • Théorème de Carathéodory : dans [formule], tout point de [formule] est barycentre de [formule] points de [formule]
   • Points extrémaux : [formule] est extrémal s'il n'est milieu d'aucun segment inclus dans [formule]
3. Projection sur un convexe fermé
   • Théorème de projection : pour tout [formule] et tout convexe fermé non vide [formule], il existe un unique [formule] minimisant [formule]
   • Caractérisation : [formule] ssi [formule] pour tout [formule]
   • Le projecteur [formule] est [formule]-lipschitzien
4. Théorèmes de séparation
   • Hyperplan séparant : [formule] et [formule] sont séparés par [formule] si [formule] et [formule]
   • Théorème de séparation faible : deux convexes disjoints dont l'un est compact peuvent être strictement séparés
   • Théorème de Hahn-Banach géométrique : un convexe fermé et un point extérieur sont strictement séparés par un hyperplan
5. Théorème de Krein-Milman
   • Énoncé : tout convexe compact non vide est l'enveloppe convexe fermée de ses points extrémaux
   • Application : la boule unité de [formule] (norme euclidienne) a pour points extrémaux la sphère
   • Application : description des matrices bistochastiques (théorème de Birkhoff)
6. Applications
   • Programmation linéaire : l'optimum est atteint en un sommet du polyèdre
   • Inégalité de Jensen pour les fonctions convexes
   • Dualité en optimisation convexe

Théorèmes clés

• Théorème de Carathéodory : dans [formule], tout point de [formule] s'écrit comme combinaison convexe d'au plus [formule] points de [formule]
• Théorème de séparation stricte : si [formule] est un convexe fermé de [formule] et [formule], il existe un hyperplan séparant strictement [formule] et [formule]
• Théorème de Krein-Milman : tout convexe compact non vide de [formule] est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux
• Théorème de Birkhoff : les points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques sont les matrices de permutation

Exemples importants

• Enveloppe convexe de [formule] points en position générale dans [formule] : simplexe
• Projection sur un sous-espace affine : projection orthogonale classique
• Boule unité de [formule] : points extrémaux [formule]
• Théorème de Birkhoff : matrice doublement stochastique = combinaison convexe de matrices de permutation

Erreurs courantes

• Confondre séparation faible et séparation stricte
• Oublier l'hypothèse de compacité dans Krein-Milman
• Appliquer la projection sans vérifier que le convexe est fermé

Conseils du jury

• Le théorème de Krein-Milman est un développement apprécié
• Savoir appliquer le théorème de séparation pour démontrer d'autres résultats (Farkas, programmation linéaire)
• Le jury attend une bonne connaissance des exemples géométriques

Développements associés

• Théorème de Hahn-Banach géométrique
• Théorème de Krein-Milman
• Barycentres et applications
• Convexité et applications
• Formule d'Euler pour les polyèdres convexes

Prérequis

espaces vectoriels normes, topologie Rn, formes lineaires