Leçon 312 — Estimation et intervalles de confiance.

Points clés

• Estimateur : biais, convergence, efficacité
• Maximum de vraisemblance
• Intervalle de confiance
• Borne de Cramér-Rao
• Estimateurs classiques : moyenne, variance empiriques

Plan

1. Modèle statistique et estimateurs
   • Modèle paramétrique : [formule]
   • Statistique et estimateur ponctuel de [formule]
   • Biais : [formule], estimateur sans biais
2. Qualité d'un estimateur
   • Erreur quadratique moyenne : [formule]
   • Consistance : [formule]
   • Normalité asymptotique et efficacité
3. Borne de Cramér-Rao
   • Information de Fisher : [formule]
   • Inégalité : [formule] (estimateur sans biais : [formule])
   • Estimateur efficace : atteint la borne de Cramér-Rao
4. Maximum de vraisemblance
   • Vraisemblance : [formule]
   • EMV : [formule]
   • Propriétés asymptotiques : consistance, normalité asymptotique [formule]
5. Intervalles de confiance
   • Définition : [formule] pour tout [formule]
   • Quantité pivotale : [formule] de loi connue (ou asymptotiquement connue)
   • IC pour la moyenne gaussienne : [formule] (loi de Student)
   • IC asymptotique par le TCL : [formule]
6. Exemples
   • Estimation de la moyenne et de la variance d'une loi normale
   • Estimation du paramètre d'une loi de Poisson
   • Estimation de la proportion dans un sondage : [formule]

Théorèmes clés

• Inégalité de Cramér-Rao : pour un estimateur sans biais [formule], [formule] où [formule] est l'information de Fisher
• Normalité asymptotique de l'EMV : sous des conditions de régularité, [formule]
• Théorème de Lehmann-Scheffé : un estimateur sans biais fonction d'une statistique exhaustive complète est l'unique estimateur sans biais de variance minimale (UMVUE)
• Si [formule], alors [formule] et [formule], indépendants

Exemples importants

• Loi normale : [formule] est l'EMV de [formule], estimateur efficace ; [formule] est sans biais pour [formule]
• Loi de Poisson [formule] : [formule] est l'EMV de [formule], efficace, [formule]
• Estimation de proportion : IC de Wald vs IC de Wilson

Erreurs courantes

• Confondre estimateur et estimation (variable aléatoire vs réalisation)
• Oublier le facteur [formule] dans la variance empirique sans biais
• Interpréter l'IC comme « la probabilité que [formule] soit dans l'intervalle » (interprétation fréquentiste incorrecte)

Conseils du jury

• La borne de Cramér-Rao est un développement classique pour cette leçon
• Savoir dériver l'EMV et vérifier les conditions de régularité
• Le jury apprécie une discussion sur l'interprétation correcte des intervalles de confiance

Développements associés

• Borne de Cramér-Rao
• Consistance du maximum de vraisemblance
• Applications du théorème de Bayes
• Bornes de Chernoff
• Inégalité de Hoeffding
• Loi (forte) des grands nombres
• Loi forte des grands nombres
• Méthode de Monte Carlo
• Régression linéaire gaussienne
• Théorème central limite
• Théorème central limite via fonctions caractéristiques
• Théorème de Slutsky

Prérequis

variables aleatoires densite, loi grands nombres, tcl