Leçon 309 — Martingales discrètes. Exemples et applications.
Points clés
- Filtration et temps d'arrêt
- Définition de martingale, sous- et sur-martingale
- Théorème d'arrêt de Doob
- Inégalité maximale de Doob
- Théorème de convergence des martingales
Plan
- Filtrations et espérance conditionnelle
- Filtration [formule] : suite croissante de tribus
- Espérance conditionnelle [formule] : propriétés (linéarité, tour, monotonie)
- Processus adapté : [formule] est [formule]-mesurable pour tout [formule]
- Martingales : définition et premiers exemples
- Martingale : [formule] p.s.
- Sous-martingale ([formule]) et sur-martingale ([formule])
- Exemples : [formule] (marche aléatoire centrée), [formule]
- Temps d'arrêt et théorème d'arrêt
- Temps d'arrêt [formule] : [formule] pour tout [formule]
- Théorème d'arrêt de Doob : si [formule] est borné, [formule]
- Version avec [formule] p.s. fini et intégrabilité uniforme
- Inégalités maximales
- Inégalité maximale de Doob : [formule] (sous-martingale)
- Inégalité [formule] de Doob : [formule] pour [formule]
- Théorème de convergence
- Théorème de convergence de Doob : une martingale bornée dans [formule] converge p.s. et dans [formule]
- Théorème de convergence des sous-martingales : si [formule], alors [formule] converge p.s.
- Martingale régulière et convergence dans [formule]
- Applications
- Problème de la ruine du joueur : probabilité de ruine par le théorème d'arrêt
- Exponentielle stochastique de Doléans (cas discret) : [formule]. En temps continu pour les martingales continues : [formule]
- Loi du zéro-un de Kolmogorov comme conséquence de la convergence des martingales
Théorèmes clés
- Théorème d'arrêt de Doob : si [formule] est une martingale et [formule] un temps d'arrêt borné ([formule]), alors [formule]
- Inégalité maximale de Doob : pour une sous-martingale positive [formule] et [formule], [formule]
- Théorème de convergence de Doob : si [formule] est une martingale bornée dans [formule] ([formule]), alors [formule] converge p.s. et dans [formule]
- Décomposition de Doob : toute sous-martingale [formule] s'écrit [formule] avec [formule] martingale et [formule] prévisible croissant
Exemples importants
- Ruine du joueur : fortune [formule] avec gains [formule] ; probabilité de ruine [formule] à partir de [formule] contre un adversaire de fortune [formule]
- Martingale de Wald : [formule] pour une marche aléatoire [formule]
- Urne de Pólya : proportion de boules rouges = martingale bornée, converge p.s.
Erreurs courantes
- Appliquer le théorème d'arrêt à un temps d'arrêt non borné sans vérifier l'intégrabilité uniforme
- Confondre martingale et sous-martingale dans les inégalités
- Oublier que la convergence p.s. n'implique pas la convergence [formule] pour les martingales
Conseils du jury
- La ruine du joueur est un développement classique mettant en jeu le théorème d'arrêt
- Connaître plusieurs exemples de martingales (somme, produit, urne de Pólya)
- Le jury apprécie la distinction entre convergence p.s. et convergence [formule]
Développements associés
Prérequis
espaces probabilises, esperance conditionnelle, convergences probabilistes