Leçon 309 — Martingales discrètes. Exemples et applications.

Points clés

• Filtration et temps d'arrêt
• Définition de martingale, sous- et sur-martingale
• Théorème d'arrêt de Doob
• Inégalité maximale de Doob
• Théorème de convergence des martingales

Plan

1. Filtrations et espérance conditionnelle
   • Filtration [formule] : suite croissante de tribus
   • Espérance conditionnelle [formule] : propriétés (linéarité, tour, monotonie)
   • Processus adapté : [formule] est [formule]-mesurable pour tout [formule]
2. Martingales : définition et premiers exemples
   • Martingale : [formule] p.s.
   • Sous-martingale ([formule]) et sur-martingale ([formule])
   • Exemples : [formule] (marche aléatoire centrée), [formule]
3. Temps d'arrêt et théorème d'arrêt
   • Temps d'arrêt [formule] : [formule] pour tout [formule]
   • Théorème d'arrêt de Doob : si [formule] est borné, [formule]
   • Version avec [formule] p.s. fini et intégrabilité uniforme
4. Inégalités maximales
   • Inégalité maximale de Doob : [formule] (sous-martingale)
   • Inégalité [formule] de Doob : [formule] pour [formule]
5. Théorème de convergence
   • Théorème de convergence de Doob : une martingale bornée dans [formule] converge p.s. et dans [formule]
   • Théorème de convergence des sous-martingales : si [formule], alors [formule] converge p.s.
   • Martingale régulière et convergence dans [formule]
6. Applications
   • Problème de la ruine du joueur : probabilité de ruine par le théorème d'arrêt
   • Exponentielle stochastique de Doléans (cas discret) : [formule]. En temps continu pour les martingales continues : [formule]
   • Loi du zéro-un de Kolmogorov comme conséquence de la convergence des martingales

Théorèmes clés

• Théorème d'arrêt de Doob : si [formule] est une martingale et [formule] un temps d'arrêt borné ([formule]), alors [formule]
• Inégalité maximale de Doob : pour une sous-martingale positive [formule] et [formule], [formule]
• Théorème de convergence de Doob : si [formule] est une martingale bornée dans [formule] ([formule]), alors [formule] converge p.s. et dans [formule]
• Décomposition de Doob : toute sous-martingale [formule] s'écrit [formule] avec [formule] martingale et [formule] prévisible croissant

Exemples importants

• Ruine du joueur : fortune [formule] avec gains [formule] ; probabilité de ruine [formule] à partir de [formule] contre un adversaire de fortune [formule]
• Martingale de Wald : [formule] pour une marche aléatoire [formule]
• Urne de Pólya : proportion de boules rouges = martingale bornée, converge p.s.

Erreurs courantes

• Appliquer le théorème d'arrêt à un temps d'arrêt non borné sans vérifier l'intégrabilité uniforme
• Confondre martingale et sous-martingale dans les inégalités
• Oublier que la convergence p.s. n'implique pas la convergence [formule] pour les martingales

Conseils du jury

• La ruine du joueur est un développement classique mettant en jeu le théorème d'arrêt
• Connaître plusieurs exemples de martingales (somme, produit, urne de Pólya)
• Le jury apprécie la distinction entre convergence p.s. et convergence [formule]

Développements associés

• Théorème d'arrêt de Doob
• Problème de la ruine du joueur
• Convergence des martingales bornées dans L²
• Espérance conditionnelle dans L²

Prérequis

espaces probabilises, esperance conditionnelle, convergences probabilistes