Leçon 305 — Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

Points clés

• Densité de probabilité et loi absolument continue
• Calcul d'espérance par intégration
• Lois classiques à densité : uniforme, exponentielle, gaussienne
• Changement de variable et loi de fonctions de v.a.
• Couples de variables à densité

Plan

1. Variables aléatoires à densité
   • Définition : [formule] admet une densité [formule] si [formule] pour tout borélien [formule]
   • Conditions sur [formule] : [formule] et [formule]
   • Fonction de répartition : [formule], dérivable p.p. avec [formule] p.p.
2. Espérance et moments
   • Espérance : [formule]
   • Formule de transfert : [formule]
   • Moments d'ordre [formule] : [formule]
3. Lois classiques à densité
   • Loi uniforme [formule] : [formule]
   • Loi exponentielle [formule] : [formule], propriété d'absence de mémoire
   • Loi normale [formule] : [formule]
   • Loi gamma [formule] et loi du [formule]
4. Changement de variable
   • Si [formule] avec [formule] un [formule]-difféomorphisme : [formule]
   • Cas non bijectif : somme des contributions sur chaque branche
   • Méthode de la fonction de répartition : [formule]
5. Couples de variables à densité
   • Densité conjointe [formule] et densités marginales par intégration
   • Indépendance : [formule]
   • Densité de [formule] par convolution : [formule]
6. Applications
   • Simulation : méthode de l'inverse [formule] avec [formule]
   • Stabilité de la loi normale par somme indépendante
   • Loi du maximum et du minimum de [formule] v.a. i.i.d.

Théorèmes clés

• Formule de changement de variable : si [formule] est un [formule]-difféomorphisme et [formule] a pour densité [formule], alors [formule] a pour densité [formule]
• Convolution des densités : si [formule] sont indépendantes de densités [formule], alors [formule] a pour densité [formule]
• Stabilité de la loi normale : si [formule] et [formule] indépendantes, [formule]
• Méthode de l'inverse : si [formule] et [formule] est une f.d.r. continue strictement croissante, alors [formule] a pour f.d.r. [formule]

Exemples importants

• Loi exponentielle et propriété d'absence de mémoire : [formule]
• Somme de deux exponentielles indépendantes de même paramètre [formule] : loi gamma [formule]
• Loi de [formule] pour [formule] : loi du [formule] à [formule] degré de liberté
• Simulation d'une loi exponentielle : [formule]

Erreurs courantes

• Oublier le jacobien (la valeur absolue de la dérivée) lors d'un changement de variable
• Confondre densité et probabilité ponctuelle : [formule] pour une v.a. à densité
• Écrire [formule] au lieu de [formule]

Conseils du jury

• La méthode de changement de variable est un outil fondamental : s'entraîner sur de nombreux exemples
• Savoir démontrer la stabilité de la loi normale par fonctions caractéristiques ou par convolution
• Le jury apprécie qu'on illustre la simulation par la méthode de l'inverse

Développements associés

• Calcul de densité d'un quotient
• Propriétés de la loi normale
• Construction du processus de Poisson
• Fonction caractéristique de la loi gaussienne
• Formule de transfert
• Fonctions Gamma et Beta
• Loi de l'arc sinus
• Lois usuelles de probabilité
• Indépendance des vecteurs gaussiens

Prérequis

integration lebesgue, variables aleatoires discretes, espaces probabilises