Leçon 303 — Couples de variables aléatoires. Indépendance.

Points clés

• Loi conjointe et lois marginales
• Indépendance de variables aléatoires
• Covariance et corrélation
• Formule de convolution
• Somme de variables aléatoires indépendantes

Plan

1. Loi conjointe d'un couple de variables aléatoires
   • Loi conjointe de [formule] : [formule] pour tout [formule]
   • Lois marginales par sommation : [formule]
   • La loi conjointe détermine les marginales, mais pas réciproquement
2. Indépendance de variables aléatoires
   • Définition : [formule] et [formule] indépendantes si [formule] pour tout [formule]
   • Caractérisation : [formule] et [formule] indépendantes ssi [formule] et [formule] sont indépendantes
   • Indépendance mutuelle d'une famille [formule]
3. Covariance et coefficient de corrélation
   • Covariance : [formule]
   • Coefficient de corrélation linéaire : [formule]
   • Inégalité de Cauchy-Schwarz : [formule], cas d'égalité
   • Indépendance implique non-corrélation, mais la réciproque est fausse
4. Formule de convolution
   • Loi de [formule] pour [formule] indépendantes : [formule]
   • Somme de variables de Poisson indépendantes : [formule]
   • Somme de binomiales indépendantes de même paramètre [formule]
5. Espérance et variance de sommes
   • Linéarité de l'espérance (sans hypothèse d'indépendance)
   • Variance d'une somme : [formule]
   • Cas indépendant : [formule]

Théorèmes clés

• Caractérisation de l'indépendance par les fonctions génératrices : [formule] indépendantes ssi [formule] (fgp conjointe) ; la factorisation [formule] n'en est qu'une conséquence
• Inégalité de Cauchy-Schwarz : [formule], avec égalité ssi [formule] et [formule] sont proportionnelles p.s.
• Stabilité de la loi de Poisson par convolution : si [formule] et [formule] indépendantes, [formule]
• Formule de la variance totale : [formule]

Exemples importants

• Couple [formule] uniforme sur un ensemble fini : calcul de la loi conjointe et des marginales
• Variables non corrélées mais non indépendantes : [formule] uniforme sur [formule], [formule]
• Somme de [formule] Bernoulli indépendantes : retrouver la loi binomiale par convolution

Erreurs courantes

• Confondre non-corrélation ([formule]) et indépendance
• Appliquer [formule] sans vérifier l'indépendance
• Oublier que la loi conjointe contient plus d'information que les deux marginales séparées

Conseils du jury

• Avoir un contre-exemple clair de variables non corrélées mais dépendantes
• La stabilité par convolution des lois classiques est un résultat attendu
• Le jury apprécie un plan qui distingue clairement le cas discret et le cas à densité

Développements associés

• Convolution de lois binomiales
• Coefficient de corrélation
• Lemme de Borel-Cantelli
• Lemmes de Borel-Cantelli et applications
• Calcul de densité d'un quotient
• Espérance conditionnelle dans L²
• Théorème de Fubini
• Propriétés de la loi normale
• Théorème de Dynkin (π-λ)
• Régression linéaire gaussienne
• Indépendance des vecteurs gaussiens

Prérequis

variables aleatoires discretes, espaces probabilises