Leçon 301 — Espaces probabilisés. Tribu, probabilité, propriétés élémentaires.

Points clés

Tribus et espaces mesurables
- Définition d'une tribu [formule] sur [formule] : stabilité par complémentaire et réunion dénombrable
- Tribu engendrée par une famille de parties : [formule]
- Tribu borélienne [formule] : engendrée par les ouverts de [formule]
Mesures de probabilité
- Définition : application [formule] avec [formule] et [formule]-additivité
- Propriétés immédiates : monotonie, [formule], formule de Poincaré
- Continuité monotone : [formule]
Théorème d'extension de Kolmogorov
- Contenu de probabilité et extension sur une algèbre
- Théorème de Carathéodory : extension en une mesure sur [formule]
- Lemme de classe monotone et théorème [formule]-[formule] de Dynkin
Indépendance d'événements
- Indépendance de deux événements : [formule]
- Indépendance mutuelle d'une famille d'événements
- Indépendance de tribus : [formule] indépendantes si [formule]
Lemmes de Borel-Cantelli
- Premier lemme : si [formule] alors [formule]
- Second lemme : si les [formule] sont indépendants et [formule] alors [formule]
- Loi du zéro-un de Kolmogorov pour la tribu asymptotique
Exemples fondamentaux
- Espace probabilisé discret : [formule] dénombrable, [formule]
- Probabilité uniforme sur un ensemble fini : [formule]
- Mesure de Lebesgue sur [formule]

Théorème d'extension de Carathéodory : toute pré-mesure [formule]-additive sur une algèbre s'étend de manière unique en une mesure sur la tribu engendrée
Lemme [formule]-[formule] de Dynkin : si [formule] est un [formule]-système et [formule] un [formule]-système avec [formule], alors [formule]
Premier lemme de Borel-Cantelli : [formule]
Second lemme de Borel-Cantelli : si les [formule] sont indépendants et [formule], alors [formule]
Loi du zéro-un de Kolmogorov : tout événement de la tribu asymptotique [formule] a pour probabilité [formule] ou [formule]

Le problème du singe dactylographe : Borel-Cantelli implique que toute suite finie apparaît p.s. dans une suite i.i.d. uniforme
La tribu borélienne de [formule] est engendrée par les intervalles [formule], [formule]
Lancer d'une infinité de pièces : [formule], tribu produit, probabilité produit

Le théorème [formule]-[formule] est un outil fondamental : savoir l'énoncer et l'appliquer pour prouver l'unicité d'une mesure
Avoir un exemple concret d'application de chaque lemme de Borel-Cantelli
Le jury attend une maîtrise des fondements : ne pas négliger les axiomes

theorie mesure, topologie generale