Leçon 301 — Espaces probabilisés. Tribu, probabilité, propriétés élémentaires.

Points clés

• Tribu et espace mesurable
• Mesure de probabilité : axiomes de Kolmogorov
• Propriétés : continuité monotone, sous-additivité
• Tribu engendrée et tribu borélienne
• Indépendance d'événements
• Lemme de Borel-Cantelli

Plan

1. Tribus et espaces mesurables
   • Définition d'une tribu [formule] sur [formule] : stabilité par complémentaire et réunion dénombrable
   • Tribu engendrée par une famille de parties : [formule]
   • Tribu borélienne [formule] : engendrée par les ouverts de [formule]
2. Mesures de probabilité
   • Définition : application [formule] avec [formule] et [formule]-additivité
   • Propriétés immédiates : monotonie, [formule], formule de Poincaré
   • Continuité monotone : [formule]
3. Théorème d'extension de Kolmogorov
   • Contenu de probabilité et extension sur une algèbre
   • Théorème de Carathéodory : extension en une mesure sur [formule]
   • Lemme de classe monotone et théorème [formule]-[formule] de Dynkin
4. Indépendance d'événements
   • Indépendance de deux événements : [formule]
   • Indépendance mutuelle d'une famille d'événements
   • Indépendance de tribus : [formule] indépendantes si [formule]
5. Lemmes de Borel-Cantelli
   • Premier lemme : si [formule] alors [formule]
   • Second lemme : si les [formule] sont indépendants et [formule] alors [formule]
   • Loi du zéro-un de Kolmogorov pour la tribu asymptotique
6. Exemples fondamentaux
   • Espace probabilisé discret : [formule] dénombrable, [formule]
   • Probabilité uniforme sur un ensemble fini : [formule]
   • Mesure de Lebesgue sur [formule]

Théorèmes clés

• Théorème d'extension de Carathéodory : toute pré-mesure [formule]-additive sur une algèbre s'étend de manière unique en une mesure sur la tribu engendrée
• Lemme [formule]-[formule] de Dynkin : si [formule] est un [formule]-système et [formule] un [formule]-système avec [formule], alors [formule]
• Premier lemme de Borel-Cantelli : [formule]
• Second lemme de Borel-Cantelli : si les [formule] sont indépendants et [formule], alors [formule]
• Loi du zéro-un de Kolmogorov : tout événement de la tribu asymptotique [formule] a pour probabilité [formule] ou [formule]

Exemples importants

• Le problème du singe dactylographe : Borel-Cantelli implique que toute suite finie apparaît p.s. dans une suite i.i.d. uniforme
• La tribu borélienne de [formule] est engendrée par les intervalles [formule], [formule]
• Lancer d'une infinité de pièces : [formule], tribu produit, probabilité produit

Erreurs courantes

• Confondre indépendance deux à deux et indépendance mutuelle
• Oublier l'hypothèse d'indépendance dans le second lemme de Borel-Cantelli
• Confondre [formule]-additivité et additivité finie

Conseils du jury

• Le théorème [formule]-[formule] est un outil fondamental : savoir l'énoncer et l'appliquer pour prouver l'unicité d'une mesure
• Avoir un exemple concret d'application de chaque lemme de Borel-Cantelli
• Le jury attend une maîtrise des fondements : ne pas négliger les axiomes

Développements associés

• Lemme de Borel-Cantelli
• Construction de Kolmogorov
• Théorème de Dynkin (π-λ)
• Applications du théorème de Bayes
• Lemmes de Borel-Cantelli et applications
• Construction du processus de Poisson
• Loi (forte) des grands nombres
• Loi forte des grands nombres
• Récurrence de la marche aléatoire

Prérequis

theorie mesure, topologie generale