Leçon 261 — Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Points clés

Fonction de répartition
- Définition et propriétés : croissante, càdlàg, limites en [formule]
- Caractérise la loi de la variable aléatoire
- Loi discrète vs loi à densité vs loi mixte
Variables à densité
- Densité : [formule], [formule], [formule]
- Loi normale [formule] : [formule]
- Loi exponentielle [formule] : [formule]
Moments et espérance
- Espérance : [formule]
- Variance : [formule]
- Inégalités : Markov ([formule]), Bienaymé-Tchebychev
Fonction caractéristique
- Définition : [formule]
- Propriétés : [formule], [formule], uniformément continue
- Caractérise la loi : si [formule] alors [formule] et [formule] ont même loi
Lois usuelles et leur caractérisation
- Loi normale : [formule]
- Loi de Poisson : [formule]
- Loi exponentielle, uniforme, Gamma
Applications
- Somme de variables indépendantes : [formule]
- Théorème central limite via les fonctions caractéristiques
- Reconnaissance de lois par la fonction caractéristique

Théorème d'unicité : la loi d'une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction de répartition, ou de façon équivalente par sa fonction caractéristique
Inégalité de Markov : pour [formule] et [formule], [formule]
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : [formule]
Si [formule] et [formule] sont indépendantes, [formule] et la loi de [formule] est la convolution des lois

Confondre densité et probabilité : [formule] n'est pas [formule] (qui vaut [formule] pour une loi à densité)
Oublier que la loi de Cauchy n'a pas d'espérance (les moments n'existent pas toujours)
Affirmer que la connaissance de tous les moments détermine la loi (faux en général, vrai si la série des moments converge)

Connaître les principales lois et leurs paramètres (espérance, variance, fonction caractéristique) est indispensable
Savoir calculer la fonction caractéristique de la loi normale par complétion du carré
Le jury apprécie qu'on fasse le lien entre fonction caractéristique et transformée de Fourier de la mesure

variables densite, esperance variance