Caractérise la loi : si [formule] alors [formule] et [formule] ont même loi
Lois usuelles et leur caractérisation
Loi normale : [formule]
Loi de Poisson : [formule]
Loi exponentielle, uniforme, Gamma
Applications
Somme de variables indépendantes : [formule]
Théorème central limite via les fonctions caractéristiques
Reconnaissance de lois par la fonction caractéristique
Théorèmes clés
Théorème d'unicité : la loi d'une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction de répartition, ou de façon équivalente par sa fonction caractéristique
Inégalité de Markov : pour [formule] et [formule], [formule]
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : [formule]
Si [formule] et [formule] sont indépendantes, [formule] et la loi de [formule] est la convolution des lois
Exemples importants
Loi normale [formule] : [formule], tous les moments existent, [formule]
Loi de Poisson [formule] : [formule], approximation de la binomiale
Loi exponentielle [formule] : propriété d'absence de mémoire, [formule]
Somme de deux normales indépendantes : [formule]
Loi de Cauchy : pas de moments, [formule]
Erreurs courantes
Confondre densité et probabilité : [formule] n'est pas [formule] (qui vaut [formule] pour une loi à densité)
Oublier que la loi de Cauchy n'a pas d'espérance (les moments n'existent pas toujours)
Affirmer que la connaissance de tous les moments détermine la loi (faux en général, vrai si la série des moments converge)
Conseils du jury
Connaître les principales lois et leurs paramètres (espérance, variance, fonction caractéristique) est indispensable
Savoir calculer la fonction caractéristique de la loi normale par complétion du carré
Le jury apprécie qu'on fasse le lien entre fonction caractéristique et transformée de Fourier de la mesure