Leçon 253 — Utilisation de la notion de convexité en analyse.
Points clés
Fonctions convexes : caractérisations ([formule], épigraphe convexe, inégalité des cordes)
Inégalité de Jensen : [formule]
Inégalités de Young, Hölder et Minkowski
Ensembles convexes : séparation par un hyperplan (Hahn-Banach géométrique)
Convexité et optimisation : tout minimum local est global
Dualité convexe et transformée de Legendre-Fenchel
Applications en analyse fonctionnelle et en probabilités
Plan
Fonctions convexes sur [formule]
Définition : [formule]
Caractérisations : pentes croissantes, [formule] si [formule]
Continuité et dérivabilité des fonctions convexes
Inégalités fondamentales
Inégalité de Jensen (version finie et intégrale)
Inégalité arithmético-géométrique comme conséquence
Inégalité de Young : [formule] pour [formule]
Inégalités de Hölder et Minkowski
Hölder : [formule] déduit de Young
Minkowski : [formule] (inégalité triangulaire dans [formule])
Cas d'égalité
Ensembles convexes et séparation
Ensembles convexes dans [formule]
Théorème de séparation de Hahn-Banach géométrique
Projection sur un convexe fermé dans un Hilbert
Convexité et optimisation
Pour une fonction convexe, tout minimum local est global
Fonction strictement convexe : unicité du minimum
Sous-différentiel d'une fonction convexe
Applications
Méthode de Monte-Carlo et bornes par Jensen
Inégalité isopérimétrique (lien avec la convexité)
Entropie et information de Fisher comme fonctions convexes
Théorèmes clés
Inégalité de Jensen : si [formule] est convexe et [formule] est une mesure de probabilité sur un intervalle [formule], alors [formule]
Inégalité de Hölder : pour [formule], [formule] avec [formule], [formule]
Inégalité de Minkowski : pour [formule] ([formule]), [formule]
Théorème de Hahn-Banach géométrique : si [formule] et [formule] sont des convexes non vides disjoints avec [formule] ouvert dans un evn, il existe un hyperplan fermé qui les sépare
Exemples importants
AM-GM par Jensen : [formule] par concavité de [formule]
Convexité de [formule] pour [formule] : base des inégalités [formule]
Inégalité de Young : [formule] pour [formule] et [formule]
Borne de Jensen en probabilités : [formule] (utile pour les martingales)
Projection sur un convexe fermé : meilleure approximation dans [formule]
Erreurs courantes
Confondre convexe et strictement convexe : l'unicité du minimum nécessite la stricte convexité
Appliquer Jensen dans le mauvais sens (oublier le sens de l'inégalité pour les fonctions concaves)
Oublier l'hypothèse [formule] dans Minkowski (faux pour [formule])
Conseils du jury
Savoir déduire Hölder de Young, et Minkowski de Hölder : cette chaîne logique est très appréciée
Présenter des applications en probabilités (Jensen pour l'espérance) en plus de l'analyse fonctionnelle
Le titre dit « utilisation » : il faut montrer la convexité comme outil, pas seulement comme notion abstraite