Leçon 253 — Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Points clés

• Fonctions convexes : caractérisations ([formule], épigraphe convexe, inégalité des cordes)
• Inégalité de Jensen : [formule]
• Inégalités de Young, Hölder et Minkowski
• Ensembles convexes : séparation par un hyperplan (Hahn-Banach géométrique)
• Convexité et optimisation : tout minimum local est global
• Dualité convexe et transformée de Legendre-Fenchel
• Applications en analyse fonctionnelle et en probabilités

Plan

1. Fonctions convexes sur [formule]
   • Définition : [formule]
   • Caractérisations : pentes croissantes, [formule] si [formule]
   • Continuité et dérivabilité des fonctions convexes
2. Inégalités fondamentales
   • Inégalité de Jensen (version finie et intégrale)
   • Inégalité arithmético-géométrique comme conséquence
   • Inégalité de Young : [formule] pour [formule]
3. Inégalités de Hölder et Minkowski
   • Hölder : [formule] déduit de Young
   • Minkowski : [formule] (inégalité triangulaire dans [formule])
   • Cas d'égalité
4. Ensembles convexes et séparation
   • Ensembles convexes dans [formule]
   • Théorème de séparation de Hahn-Banach géométrique
   • Projection sur un convexe fermé dans un Hilbert
5. Convexité et optimisation
   • Pour une fonction convexe, tout minimum local est global
   • Fonction strictement convexe : unicité du minimum
   • Sous-différentiel d'une fonction convexe
6. Applications
   • Méthode de Monte-Carlo et bornes par Jensen
   • Inégalité isopérimétrique (lien avec la convexité)
   • Entropie et information de Fisher comme fonctions convexes

Théorèmes clés

• Inégalité de Jensen : si [formule] est convexe et [formule] est une mesure de probabilité sur un intervalle [formule], alors [formule]
• Inégalité de Hölder : pour [formule], [formule] avec [formule], [formule]
• Inégalité de Minkowski : pour [formule] ([formule]), [formule]
• Théorème de Hahn-Banach géométrique : si [formule] et [formule] sont des convexes non vides disjoints avec [formule] ouvert dans un evn, il existe un hyperplan fermé qui les sépare

Exemples importants

• AM-GM par Jensen : [formule] par concavité de [formule]
• Convexité de [formule] pour [formule] : base des inégalités [formule]
• Inégalité de Young : [formule] pour [formule] et [formule]
• Borne de Jensen en probabilités : [formule] (utile pour les martingales)
• Projection sur un convexe fermé : meilleure approximation dans [formule]

Erreurs courantes

• Confondre convexe et strictement convexe : l'unicité du minimum nécessite la stricte convexité
• Appliquer Jensen dans le mauvais sens (oublier le sens de l'inégalité pour les fonctions concaves)
• Oublier l'hypothèse [formule] dans Minkowski (faux pour [formule])

Conseils du jury

• Savoir déduire Hölder de Young, et Minkowski de Hölder : cette chaîne logique est très appréciée
• Présenter des applications en probabilités (Jensen pour l'espérance) en plus de l'analyse fonctionnelle
• Le titre dit « utilisation » : il faut montrer la convexité comme outil, pas seulement comme notion abstraite

Développements associés

• Inégalités de Hölder et Minkowski
• Inégalité de Jensen
• Convexité et applications
• Extrema de fonctions
• Extrema : applications
• Théorème de Hahn-Banach géométrique
• Inégalité de Hoeffding
• Théorème de Krein-Milman

Prérequis

derivation, espaces normes