Critères de convergence : comparaison, d'Alembert, Cauchy (racine), condensation
Séries alternées : critère de Leibniz et estimation du reste
Critères d'Abel et Dirichlet
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
Comparaison série-intégrale et estimation des restes
Sommation de séries classiques
Plan
Généralités et convergence
Série convergente, divergente, reste [formule]
Convergence absolue implique convergence
Critère de Cauchy pour les séries
Séries à termes positifs
Critère de comparaison et équivalents
Critère de d'Alembert : [formule]
Critère de Cauchy (racine) : [formule]
Critère de condensation de Cauchy
Séries alternées
Critère de Leibniz : [formule] converge si [formule]
Estimation du reste : [formule]
Exemple : série harmonique alternée [formule]
Critères d'Abel et Dirichlet
Transformation d'Abel (sommation par parties discrète)
Critère d'Abel : [formule] avec [formule] monotone convergente et [formule] convergente
Critère de Dirichlet : [formule] avec [formule] monotone et sommes partielles de [formule] bornées
Comparaison série-intégrale et comportement des restes
Si [formule] est décroissante positive : [formule]
Application : [formule] converge ssi [formule]
Encadrement du reste [formule] par des intégrales
Produit de séries et sommation
Produit de Cauchy : [formule] avec [formule]
Théorème de Mertens
Calcul de sommes : [formule], [formule]
Théorèmes clés
Critère de Leibniz : si [formule] est une suite décroissante de réels positifs tendant vers [formule], alors [formule] converge et le reste vérifie [formule]
Critère de d'Alembert : si [formule] et [formule], alors la série converge si [formule] et diverge si [formule]
Comparaison série-intégrale : pour [formule] décroissante positive sur [formule], [formule] converge quand [formule] (constante de Stieltjes)
Théorème de Mertens : si [formule] converge absolument et [formule] converge, alors le produit de Cauchy converge vers [formule]
Exemples importants
Série harmonique [formule] : diverge, mais [formule] (constante d'Euler [formule])
Séries de Riemann [formule] : convergent ssi [formule]
Série harmonique alternée : [formule] (semi-convergente)
[formule] (problème de Bâle, via Parseval ou produit eulérien du sinus)
Série exponentielle : [formule], converge absolument pour tout [formule]
Erreurs courantes
Appliquer d'Alembert ou Cauchy quand la limite vaut [formule] (ces critères ne concluent pas dans ce cas)
Confondre convergence absolue et convergence : la série harmonique alternée converge mais pas absolument
Oublier de vérifier la décroissance dans le critère de Leibniz (la monotonie est essentielle)
Conseils du jury
Savoir estimer des restes de séries par comparaison série-intégrale est très valorisé
Connaître la constante d'Euler [formule] et le développement asymptotique des sommes partielles harmoniques
Le jury apprécie qu'on cite les séries de Bertrand [formule] comme raffinement des séries de Riemann