Leçon 229 — Fonctions monotones. Fonctions convexes.

Points clés

• Fonctions monotones : limites à gauche et à droite existent en tout point
• Discontinuités d'une fonction monotone : dénombrables, toutes de première espèce
• Dérivabilité presque partout des fonctions monotones (théorème de Lebesgue)
• Fonctions convexes : définition par l'inégalité [formule]
• Caractérisations : [formule], pentes croissantes
• Inégalités classiques : Jensen, Hölder, Minkowski
• Application à l'étude de suites et fonctions

Plan

1. Fonctions monotones sur un intervalle
   • Limites à gauche et à droite
   • Discontinuités : dénombrables, de première espèce (sauts)
   • Fonctions en escalier comme fonctions monotones simples
2. Dérivabilité des fonctions monotones
   • Théorème de Lebesgue : une fonction monotone est dérivable presque partout
   • Exemple : la fonction de Cantor (continue, croissante, [formule] p.p. mais pas constante)
   • Fonctions à variation bornée
3. Fonctions convexes : définitions et caractérisations
   • Définition : [formule]
   • Pentes croissantes : [formule] croissante
   • Si [formule] est [formule] : [formule] convexe ssi [formule]
4. Propriétés des fonctions convexes
   • Continuité sur l'intérieur du domaine
   • Dérivabilité à gauche et à droite en tout point intérieur
   • L'épigraphe est un ensemble convexe
5. Inégalités fondamentales
   • Inégalité de Jensen : [formule] pour [formule] convexe
   • Inégalité arithmético-géométrique comme cas particulier
   • Inégalités de Hölder et Minkowski
6. Applications
   • Convexité de [formule] pour [formule] et inégalité de Minkowski
   • Étude de suites : [formule] avec [formule] convexe ou concave
   • Optimisation et problèmes de minimum

Théorèmes clés

• Théorème de Lebesgue : toute fonction monotone sur un intervalle est dérivable presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue)
• Inégalité de Jensen : si [formule] est convexe et [formule] est une mesure de probabilité, alors [formule]
• Caractérisation des fonctions convexes [formule] : [formule] est convexe sur [formule] si et seulement si [formule] pour tout [formule]
• Toute fonction convexe sur un ouvert de [formule] est continue et admet des dérivées à gauche et à droite en tout point

Exemples importants

• La fonction de Cantor : continue, croissante, [formule] p.p. mais [formule] et [formule] (non constante)
• [formule] est convexe sur [formule] : [formule] (utile en probabilités)
• Inégalité AM-GM : [formule] par convexité de [formule]
• Inégalité de Young : [formule] pour [formule], base de Hölder
• Fonctions de répartition : monotones croissantes avec limites [formule] et [formule]

Erreurs courantes

• Croire qu'une fonction monotone dérivable p.p. avec [formule] p.p. est nécessairement constante (faux : fonction de Cantor)
• Oublier que la convexité implique la continuité sur l'intérieur mais pas nécessairement au bord
• Confondre convexe et strictement convexe dans les inégalités (cas d'égalité)

Conseils du jury

• La fonction de Cantor est un contre-exemple incontournable : la connaître et savoir la construire
• Savoir démontrer Jensen et en déduire les inégalités classiques (AM-GM, Hölder) montre une bonne maîtrise
• Le jury apprécie les liens entre convexité et optimisation, et entre monotonie et intégration

Développements associés

• Inégalité de Jensen
• Fonctions monotones et dérivabilité
• Convexité et applications
• Inégalités de Hölder et Minkowski
• Théorème de Rolle et applications

Prérequis

derivation, integration