Leçon 223 — Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence.

Points clés

• Définition de la convergence dans [formule] et [formule]
• Suites monotones bornées et convergence
• Suites extraites, valeurs d'adhérence
• Théorème de Bolzano-Weierstrass
• Limites supérieure et inférieure
• Critère de Cauchy pour les suites
• Lemme de Cesàro et moyennes

Plan

1. Convergence des suites réelles
   • Définition avec les [formule]
   • Unicité de la limite, suites bornées
   • Opérations sur les limites
2. Suites monotones
   • Toute suite croissante majorée converge
   • Toute suite croissante non majorée tend vers [formule]
   • Application : construction de [formule]
3. Suites extraites et valeurs d'adhérence
   • Définition d'une sous-suite [formule]
   • Valeur d'adhérence = limite d'une sous-suite
   • Théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée admet une valeur d'adhérence
4. Limites supérieure et inférieure
   • Définition : [formule]
   • [formule] est la plus grande valeur d'adhérence
   • [formule] converge ssi [formule]
5. Critère de Cauchy
   • Une suite de réels converge ssi elle est de Cauchy
   • Équivalence en dimension finie
   • Application : convergence de séries
6. Théorèmes de moyennes et applications
   • Lemme de Cesàro : si [formule], alors [formule]
   • Théorème de Stolz-Cesàro
   • Applications : suite [formule] et convergence

Théorèmes clés

• Théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée de réels (ou de [formule]) admet une sous-suite convergente
• Théorème de la limite monotone : toute suite croissante majorée de réels converge vers sa borne supérieure
• Critère de Cauchy : une suite de réels converge si et seulement si elle est de Cauchy ([formule])
• Lemme de Cesàro : si [formule] converge vers [formule], alors les moyennes de Cesàro [formule] convergent aussi vers [formule]
• [formule] est la plus grande valeur d'adhérence de [formule]

Exemples importants

• Suite [formule] : croissante majorée, converge vers [formule]
• Suite [formule] : bornée non convergente, deux valeurs d'adhérence [formule], [formule], [formule]
• Suite [formule] : dense dans [formule] (car [formule] est irrationnel), ensemble des valeurs d'adhérence = [formule]
• Suite [formule] pour [formule] : convergence vers [formule] (méthode de Héron)
• Moyennes de Cesàro de [formule] : [formule] (la réciproque de Cesàro est fausse)

Erreurs courantes

• Confondre la réciproque de Cesàro (fausse en général) et le résultat direct
• Affirmer qu'une suite qui n'est pas monotone ne peut pas converger
• Oublier que Bolzano-Weierstrass nécessite une suite bornée (pas seulement une suite de réels)

Conseils du jury

• Savoir manipuler les [formule] avec rigueur, notamment pour les définitions de [formule] et [formule]
• La construction de [formule] et la preuve que [formule] est croissante sont des classiques appréciés
• Présenter des exemples de suites avec des comportements variés (convergente, divergente, bornée non convergente)

Développements associés

• Théorème de Bolzano-Weierstrass
• Théorème de Cesaro
• Applications de la compacité
• Fractions continues
• Point fixe et suites itérées
• Récurrences linéaires
• Séries alternées et critère de Leibniz
• Formule de Stirling
• Théorème des valeurs intermédiaires
• Intégrales de Wallis et formule de Stirling

Prérequis

suites reelles