Extrema libres : conditions nécessaires (gradient nul, point critique)
Conditions suffisantes du second ordre : hessienne définie positive/négative
Points selle et hessienne indéfinie
Extrema liés : théorème des multiplicateurs de Lagrange
Conditions de qualification des contraintes
Inégalités classiques obtenues par extrema
Optimisation sur des compacts : existence par le théorème des bornes atteintes
Plan
Extrema libres en dimension 1
Condition nécessaire : [formule]
Conditions suffisantes : signe de [formule]
Étude globale : limites aux bords, coercivité
Extrema libres en dimension [formule]
Condition nécessaire : [formule] (point critique)
Condition suffisante : hessienne définie positive [formule] minimum local
Cas dégénéré : hessienne semi-définie (pas de conclusion)
Extrema liés : multiplicateurs de Lagrange
Énoncé du théorème avec contraintes [formule]
Interprétation géométrique : [formule] est combinaison linéaire des [formule]
Conditions de qualification : indépendance des [formule]
Conditions suffisantes pour les extrema liés
Hessienne bordée
Hessienne restreinte à l'espace tangent à la contrainte
Méthode pratique de résolution
Existence d'extrema
Théorème des bornes atteintes sur un compact
Fonctions coercives sur [formule]
Extrema à l'infini et comportement asymptotique
Applications et inégalités classiques
Inégalité arithmético-géométrique par Lagrange
Optimisation de la distance à un sous-espace affine
Problèmes isopérimétriques (mention)
Théorèmes clés
Condition nécessaire du premier ordre : si [formule] admet un extremum local en [formule] intérieur à [formule] et [formule] est différentiable en [formule], alors [formule]
Condition suffisante du second ordre : si [formule] et [formule] est définie positive, alors [formule] admet un minimum local strict en [formule]
Multiplicateurs de Lagrange : si [formule] admet un extremum en [formule] sous les contraintes [formule] et si [formule] sont linéairement indépendantes, alors il existe [formule] tels que [formule]
Théorème des bornes atteintes : toute fonction continue sur un compact non vide atteint ses bornes
Exemples importants
Distance d'un point à une ellipse par multiplicateurs de Lagrange
Inégalité arithmético-géométrique : maximiser [formule] sous la contrainte [formule]
Point critique de [formule] en [formule] : point selle (la hessienne est nulle)
Minimiser [formule] sous la contrainte [formule] : le minimum est [formule] atteint en [formule]
Valeurs propres du quotient de Rayleigh : [formule]
Erreurs courantes
Oublier de vérifier la qualification des contraintes (les [formule] doivent être indépendantes au point considéré)
Confondre condition nécessaire et condition suffisante : [formule] et hessienne semi-définie positive ne suffit pas pour un minimum
Ne pas vérifier l'existence d'un extremum avant d'appliquer les conditions nécessaires (sur un ouvert, un extremum peut ne pas exister)
Conseils du jury
Savoir résoudre complètement un problème d'extrema liés : poser le lagrangien, résoudre le système, conclure
Avoir un exemple géométrique (distance, aire, volume) en plus des exemples algébriques
Le jury attend qu'on distingue clairement conditions nécessaires et suffisantes à chaque étape