Leçon 106 — Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E).

Points clés

• Structure de [formule]
• Sous-groupes classiques (SL, O, U, Sp)
• Générateurs de [formule]
• Centre de [formule]
• Commutateur

Plan

1. Le groupe [formule] et ses propriétés
   • Définition : [formule], ouvert dense dans [formule]
   • Cardinal de [formule] : [formule]
   • Centre de [formule] : les homothéties [formule]
2. Sous-groupes classiques
   • [formule], d'indice [formule] dans [formule]
   • Groupe orthogonal [formule] et [formule]
   • Groupe unitaire [formule] et groupe symplectique [formule]
3. Générateurs de [formule]
   • Opérations élémentaires : transvections et dilatations
   • [formule] est engendré par les transvections
   • [formule] est engendré par les transvections et une dilatation
4. Topologie de [formule] et connexité
   • [formule] a deux composantes connexes : [formule] et [formule]
   • [formule] est connexe
   • [formule] est connexe
5. Sous-groupes finis de [formule]
   • Sous-groupes finis de [formule] : cycliques et diédraux
   • Théorème de Jordan (sous-groupe abélien d'indice borné)
   • Lien avec les groupes de symétrie
6. Applications
   • Représentations linéaires de groupes finis
   • Décomposition de Cartan : [formule]
   • Groupe projectif [formule]

Théorèmes clés

• Cardinal de [formule] : [formule]
• [formule] est engendré par les transvections : [formule]
• [formule] a exactement deux composantes connexes, et [formule] est connexe
• Théorème de Cartan-Dieudonné : toute isométrie d'un espace euclidien de dimension [formule] est composée d'au plus [formule] réflexions

Exemples importants

• [formule], donc [formule]
• [formule] et [formule]
• Le groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles : sous-groupe de Borel
• [formule], avec [formule]
• Décomposition polaire : [formule] avec [formule] et [formule] symétrique définie positive

Erreurs courantes

• Oublier que le centre de [formule] n'est pas trivial : ce sont les homothéties
• Confondre [formule] et [formule] : [formule] n'est pas connexe, [formule] est connexe
• Se tromper dans le cardinal de [formule]

Conseils du jury

• Savoir calculer [formule] par un argument de construction de base est un classique
• La démonstration que [formule] est engendré par les transvections est un bon développement
• Le jury apprécie les liens entre [formule] et les groupes géométriques

Développements associés

• Théorème de Cartan-Dieudonné
• Générateurs de GL_n(K)
• Lemme de Burnside matriciel
• Décomposition polaire
• Exponentielle de matrices
• Pivot de Gauss
• Racine carrée d'une matrice
• Théorème de Cartan-Dieudonné

Prérequis

geometrie matricielle, espaces euclidiens