Leçon 415 — Polyèdres réguliers. Classification, groupes de symétrie.

Points clés

• Solides de Platon : les 5 polyèdres réguliers convexes
• Formule d'Euler pour les polyèdres
• Classification par la formule d'Euler
• Groupes de symétrie des polyèdres réguliers
• Dualité des polyèdres

Plan

1. Polyèdres convexes
   • Définition : intersection finie de demi-espaces, bornée, de dimension [formule]
   • Sommets, arêtes, faces d'un polyèdre
   • Formule d'Euler : [formule] pour un polyèdre convexe
2. Polyèdres réguliers : définition et classification
   • Définition : toutes les faces sont des polygones réguliers identiques, même nombre de faces à chaque sommet
   • Symbole de Schläfli [formule] : faces à [formule] côtés, [formule] faces par sommet
   • Contrainte : [formule] (d'après la formule d'Euler)
3. Les cinq solides de Platon
   • Tétraèdre [formule] : [formule] faces, [formule] arêtes, [formule] sommets
   • Cube (hexaèdre) [formule] : [formule] faces, [formule] arêtes, [formule] sommets
   • Octaèdre [formule] : [formule] faces, [formule] arêtes, [formule] sommets
   • Dodécaèdre [formule] : [formule] faces, [formule] arêtes, [formule] sommets
   • Icosaèdre [formule] : [formule] faces, [formule] arêtes, [formule] sommets
4. Dualité des polyèdres
   • Polyèdre dual : sommets = centres des faces, faces = autour de chaque sommet
   • Le dual de [formule] est [formule] : cube [formule] octaèdre, dodécaèdre [formule] icosaèdre
   • Le tétraèdre est auto-dual
5. Groupes de symétrie
   • Groupe des rotations du tétraèdre : [formule] ([formule] éléments)
   • Groupe des rotations du cube (et de l'octaèdre) : [formule] ([formule] éléments)
   • Groupe des rotations de l'icosaèdre (et du dodécaèdre) : [formule] ([formule] éléments)
   • Groupes complets (avec réflexions) : ordres [formule], [formule], [formule]
6. Compléments
   • Polyèdres semi-réguliers (archimédiens) : faces régulières mais non toutes identiques
   • Polyèdres étoilés de Kepler-Poinsot
   • Lien entre les sous-groupes finis de [formule] et les polyèdres réguliers

Théorèmes clés

• Formule d'Euler : pour tout polyèdre convexe, [formule] (sommets [formule] arêtes [formule] faces)
• Théorème de classification : il existe exactement [formule] polyèdres réguliers convexes : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre
• Le groupe des rotations de l'icosaèdre est isomorphe à [formule], le plus petit groupe simple non abélien
• Le dual d'un polyèdre régulier [formule] est le polyèdre régulier [formule], et le dual du dual est l'original (à homothétie près)

Exemples importants

• Tétraèdre régulier inscrit dans un cube : sommets alternés du cube
• Cube inscrit dans un dodécaèdre : [formule] cubes possibles, orbite sous le groupe de l'icosaèdre
• Fullerène [formule] : structure d'icosaèdre tronqué ([formule] pentagones et [formule] hexagones)
• Démonstration qu'il n'y a pas de sixième solide de Platon par la formule [formule]

Erreurs courantes

• Oublier de vérifier que les polyèdres trouvés existent effectivement (la condition [formule] est nécessaire mais il faut construire les solides)
• Confondre groupe des rotations et groupe complet des isométries (qui inclut les réflexions)
• Se tromper dans la dualité : le dual du cube est l'octaèdre (pas le cube lui-même)

Conseils du jury

• La classification des polyèdres réguliers par la formule d'Euler est un développement classique
• Savoir identifier les groupes de symétrie et donner leurs ordres
• Le jury apprécie le lien avec la classification des sous-groupes finis de [formule]

Développements associés

• Classification des polyèdres réguliers
• Groupe des rotations de l'icosaèdre
• Formule d'Euler pour les polyèdres convexes
• Sous-groupes finis de SO(3)

Prérequis

groupes structures, groupe orthogonal, geometrie elementaire