Propriétés : transforme droites et cercles en droites et cercles
Conservation des angles (transformation conforme)
Application : problème d'Apollonius
Applications à la résolution de problèmes
Recherche de points fixes et d'invariants
Problème de Napoléon par les rotations
Construction de tangentes communes par inversion
Pavages et groupes de symétrie
Groupes de frises : [formule] types
Groupes de pavages du plan : [formule] types (groupes cristallographiques plans)
Lien avec les sous-groupes discrets du groupe des isométries
Théorèmes clés
Toute isométrie du plan est la composée d'au plus [formule] réflexions
Composée de deux réflexions d'axes sécants d'angle [formule] : rotation d'angle [formule] de centre le point d'intersection
L'inversion de pôle [formule] et de puissance [formule] transforme tout cercle ne passant pas par [formule] en un cercle, et tout cercle passant par [formule] en une droite
Classification des groupes de pavages du plan : il existe exactement [formule] groupes cristallographiques plans (théorème de Fedorov)
Exemples importants
Composée des réflexions d'axes [formule] et la droite d'angle [formule] : rotation d'angle [formule]
Inversion qui transforme deux cercles non sécants en cercles concentriques
Problème d'Apollonius : trouver un cercle tangent à trois cercles donnés
Les [formule] pavages plans : exemples dans l'art islamique et les motifs d'Escher
Erreurs courantes
Se tromper dans l'ordre de composition (la composée n'est pas commutative)
Oublier que l'inversion n'est pas définie au pôle
Confondre le sens de la rotation obtenue par composition de deux réflexions
Conseils du jury
La composition de réflexions est un outil fondamental : maîtriser tous les cas
L'inversion est un outil puissant : savoir l'utiliser pour simplifier des problèmes de cercles
Le jury apprécie la classification des frises et pavages illustrée par des exemples