Leçon 414 — Transformations du plan. Composition et applications.

Points clés

• Translations, rotations, réflexions, homothéties, similitudes
• Composition de transformations
• Groupe des isométries du plan
• Applications à la résolution de problèmes géométriques
• Transformations involutives

Plan

1. Rappels sur les transformations du plan
   • Translations : [formule]
   • Rotations de centre [formule] et d'angle [formule] : écriture complexe [formule]
   • Réflexions par rapport à une droite : écriture complexe
   • Homothéties de centre [formule] et de rapport [formule]
2. Composition d'isométries
   • Composée de deux réflexions d'axes parallèles : translation
   • Composée de deux réflexions d'axes sécants : rotation d'angle double de l'angle des axes
   • Composée de deux rotations : rotation ou translation
3. Groupe des isométries du plan
   • Structure : isométries directes (translations, rotations) et indirectes (réflexions, réflexions glissées)
   • Sous-groupe des déplacements : noyau de [formule]
   • Tout sous-groupe fini est cyclique ou diédral
4. Inversion
   • Définition : [formule] tel que [formule]
   • Propriétés : transforme droites et cercles en droites et cercles
   • Conservation des angles (transformation conforme)
   • Application : problème d'Apollonius
5. Applications à la résolution de problèmes
   • Recherche de points fixes et d'invariants
   • Problème de Napoléon par les rotations
   • Construction de tangentes communes par inversion
6. Pavages et groupes de symétrie
   • Groupes de frises : [formule] types
   • Groupes de pavages du plan : [formule] types (groupes cristallographiques plans)
   • Lien avec les sous-groupes discrets du groupe des isométries

Théorèmes clés

• Toute isométrie du plan est la composée d'au plus [formule] réflexions
• Composée de deux réflexions d'axes sécants d'angle [formule] : rotation d'angle [formule] de centre le point d'intersection
• L'inversion de pôle [formule] et de puissance [formule] transforme tout cercle ne passant pas par [formule] en un cercle, et tout cercle passant par [formule] en une droite
• Classification des groupes de pavages du plan : il existe exactement [formule] groupes cristallographiques plans (théorème de Fedorov)

Exemples importants

• Composée des réflexions d'axes [formule] et la droite d'angle [formule] : rotation d'angle [formule]
• Inversion qui transforme deux cercles non sécants en cercles concentriques
• Problème d'Apollonius : trouver un cercle tangent à trois cercles donnés
• Les [formule] pavages plans : exemples dans l'art islamique et les motifs d'Escher

Erreurs courantes

• Se tromper dans l'ordre de composition (la composée n'est pas commutative)
• Oublier que l'inversion n'est pas définie au pôle
• Confondre le sens de la rotation obtenue par composition de deux réflexions

Conseils du jury

• La composition de réflexions est un outil fondamental : maîtriser tous les cas
• L'inversion est un outil puissant : savoir l'utiliser pour simplifier des problèmes de cercles
• Le jury apprécie la classification des frises et pavages illustrée par des exemples

Développements associés

• Composition de réflexions
• Applications du théorème d'inversion
• Classification des isométries du plan euclidien
• Classification des isométries du plan
• Similitudes du plan complexe
• Théorème de Ptolémée
• Théorème de Thalès et applications

Prérequis

isometries plan, nombres complexes, groupes structures