Leçon 413 — Triangles, cercles, polygones réguliers. Résultats classiques.

Points clés

• Points remarquables du triangle
• Cercle inscrit et cercle circonscrit
• Relations métriques dans le triangle
• Polygones réguliers et constructibilité
• Résultats classiques de géométrie euclidienne

Plan

1. Points remarquables du triangle
   • Centre de gravité [formule] : intersection des médianes
   • Orthocentre [formule] : intersection des hauteurs
   • Circumcentre [formule] : centre du cercle circonscrit
   • Centre du cercle inscrit [formule] et cercles exinscrits
2. Relations métriques
   • Loi des sinus : [formule]
   • Loi des cosinus (Al-Kashi) : [formule]
   • Formule de Héron : [formule] avec [formule]
3. Droite d'Euler et cercle d'Euler
   • Droite d'Euler : [formule], [formule], [formule] alignés avec [formule]
   • Cercle des neuf points (cercle d'Euler) : passe par les milieux des côtés, les pieds des hauteurs, les milieux de [formule], [formule], [formule]
   • Rayon du cercle d'Euler : [formule]
4. Cercle inscrit et excercles
   • Rayon du cercle inscrit : [formule] où [formule] est l'aire et [formule] le demi-périmètre
   • Formule d'Euler : [formule] (distance entre circumcentre et incentre)
   • Cercles exinscrits et rayons [formule]
5. Polygones réguliers
   • Polygone régulier à [formule] côtés inscrit dans un cercle de rayon [formule] : sommets [formule]
   • Aire : [formule]
   • Théorème de Gauss-Wantzel : constructibilité à la règle et au compas ssi [formule] (premiers de Fermat)
6. Résultats classiques
   • Théorème de Ptolémée : [formule] (quadrilatère inscrit)
   • Théorème de l'angle inscrit et ses conséquences
   • Puissance d'un point par rapport à un cercle

Théorèmes clés

• Théorème de Ptolémée : pour un quadrilatère [formule] inscrit dans un cercle, [formule]
• Loi des sinus : dans un triangle de circumrayon [formule], [formule]
• Formule d'Euler : [formule] où [formule] est le circumrayon et [formule] le rayon du cercle inscrit
• Théorème de Gauss-Wantzel : le polygone régulier à [formule] côtés est constructible à la règle et au compas ssi [formule] où les [formule] sont des nombres premiers de Fermat distincts

Exemples importants

• Triangle équilatéral : [formule], tous les points remarquables confondus : [formule], cercle d'Euler = cercle inscrit
• Triangle rectangle : [formule] (hypoténuse = diamètre), [formule] au sommet de l'angle droit
• Pentagone régulier : le nombre d'or [formule] apparaît dans les diagonales
• Hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon [formule] : côté [formule]

Erreurs courantes

• Confondre cercle inscrit et cercle circonscrit dans les formules
• Oublier que la droite d'Euler n'est pas définie pour un triangle équilatéral ([formule])
• Appliquer le théorème de Ptolémée à un quadrilatère non inscriptible

Conseils du jury

• Le théorème de Ptolémée est un développement classique avec plusieurs démonstrations possibles (inversions, complexes)
• Maîtriser les formules métriques du triangle et savoir les retrouver
• Le jury apprécie le lien entre constructibilité et théorie algébrique (Galois, corps)

Développements associés

• Théorème de Ptolémée
• Constructibilité des polygones réguliers
• Barycentres et applications
• Invariance du birapport
• Formule d'Euler pour les polyèdres convexes
• Polygones réguliers et Gauss
• Applications du théorème d'inversion
• Théorèmes de Ceva et Ménélaüs
• Théorème de Thalès et applications

Prérequis

geometrie elementaire, nombres complexes, trigonometrie