Centre de gravité [formule] : intersection des médianes
Orthocentre [formule] : intersection des hauteurs
Circumcentre [formule] : centre du cercle circonscrit
Centre du cercle inscrit [formule] et cercles exinscrits
Relations métriques
Loi des sinus : [formule]
Loi des cosinus (Al-Kashi) : [formule]
Formule de Héron : [formule] avec [formule]
Droite d'Euler et cercle d'Euler
Droite d'Euler : [formule], [formule], [formule] alignés avec [formule]
Cercle des neuf points (cercle d'Euler) : passe par les milieux des côtés, les pieds des hauteurs, les milieux de [formule], [formule], [formule]
Rayon du cercle d'Euler : [formule]
Cercle inscrit et excercles
Rayon du cercle inscrit : [formule] où [formule] est l'aire et [formule] le demi-périmètre
Formule d'Euler : [formule] (distance entre circumcentre et incentre)
Cercles exinscrits et rayons [formule]
Polygones réguliers
Polygone régulier à [formule] côtés inscrit dans un cercle de rayon [formule] : sommets [formule]
Aire : [formule]
Théorème de Gauss-Wantzel : constructibilité à la règle et au compas ssi [formule] (premiers de Fermat)
Résultats classiques
Théorème de Ptolémée : [formule] (quadrilatère inscrit)
Théorème de l'angle inscrit et ses conséquences
Puissance d'un point par rapport à un cercle
Théorèmes clés
Théorème de Ptolémée : pour un quadrilatère [formule] inscrit dans un cercle, [formule]
Loi des sinus : dans un triangle de circumrayon [formule], [formule]
Formule d'Euler : [formule] où [formule] est le circumrayon et [formule] le rayon du cercle inscrit
Théorème de Gauss-Wantzel : le polygone régulier à [formule] côtés est constructible à la règle et au compas ssi [formule] où les [formule] sont des nombres premiers de Fermat distincts
Exemples importants
Triangle équilatéral : [formule], tous les points remarquables confondus : [formule], cercle d'Euler = cercle inscrit
Triangle rectangle : [formule] (hypoténuse = diamètre), [formule] au sommet de l'angle droit
Pentagone régulier : le nombre d'or [formule] apparaît dans les diagonales
Hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon [formule] : côté [formule]
Erreurs courantes
Confondre cercle inscrit et cercle circonscrit dans les formules
Oublier que la droite d'Euler n'est pas définie pour un triangle équilatéral ([formule])
Appliquer le théorème de Ptolémée à un quadrilatère non inscriptible
Conseils du jury
Le théorème de Ptolémée est un développement classique avec plusieurs démonstrations possibles (inversions, complexes)
Maîtriser les formules métriques du triangle et savoir les retrouver
Le jury apprécie le lien entre constructibilité et théorie algébrique (Galois, corps)