Isométries indirectes : réflexions par rapport à un plan, anti-rotations, anti-déplacements
Résumé : toute isométrie de [formule] est un vissage ou un anti-vissage
Sous-groupes du groupe des isométries
Groupe diédral [formule] : isométries d'un polygone régulier à [formule] côtés
Groupes de symétrie des polyèdres réguliers
Sous-groupes finis de [formule] : classification
Théorèmes clés
Théorème de Cartan-Dieudonné : toute isométrie vectorielle de [formule] est composée d'au plus [formule] réflexions (hyperplans)
Classification en dimension [formule] : toute isométrie du plan euclidien est une translation, une rotation, une réflexion ou une réflexion glissée
Classification en dimension [formule] : toute isométrie directe de [formule] est une translation, une rotation ou un vissage ; toute isométrie indirecte est une réflexion, une anti-rotation ou un anti-vissage
Toute isométrie affine est la composée d'une isométrie fixant un point et d'une translation
Exemples importants
Groupe diédral [formule] : [formule] isométries du triangle équilatéral ([formule] rotations, [formule] réflexions)
Rotation d'angle [formule] autour de l'origine dans [formule] : matrice [formule]
Vissage de [formule] : rotation d'angle [formule] autour de l'axe [formule] composée avec la translation [formule]
Réflexion glissée : réflexion par rapport à une droite suivie d'une translation le long de cette droite
Erreurs courantes
Oublier les réflexions glissées dans la classification en dimension [formule]
Confondre isométrie affine et isométrie vectorielle (linéaire)
Croire que toute isométrie directe de [formule] est une rotation (il y a aussi les vissages)
Conseils du jury
La preuve de Cartan-Dieudonné est un développement classique et apprécié
Savoir retrouver la classification à partir de l'étude des points fixes
Le jury attend des exemples géométriques concrets illustrant chaque type d'isométrie