Leçon 265 — Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles.

Points clés

• Exponentielle et logarithme : propriétés fondamentales, développements
• Fonctions trigonométriques et hyperboliques
• Fonction Gamma : [formule], prolongement de la factorielle
• Fonction Bêta et relation avec Gamma
• Formule de Stirling : [formule]
• Fonctions spéciales : zêta de Riemann, fonctions de Bessel (mentions)
• Applications au calcul de limites, d'intégrales, de séries

Plan

1. Exponentielle et logarithme
   • Définition de [formule] par série entière ou comme solution de [formule], [formule]
   • Propriétés : [formule], bijectivité [formule]
   • Logarithme : primitive de [formule], croissance comparée avec les puissances
2. Fonctions trigonométriques et hyperboliques
   • Définitions par séries entières ou par l'exponentielle complexe
   • Formules d'Euler, identités trigonométriques
   • Fonctions hyperboliques : [formule], [formule]
3. Fonction Gamma
   • Définition et domaine : [formule]
   • Relation fonctionnelle : [formule], [formule]
   • Log-convexité et théorème de Bohr-Mollerup
4. Fonction Bêta et formule de Stirling
   • [formule]
   • Formule de Stirling : [formule]
   • Démonstration via les intégrales de Wallis
5. Fonctions définies par des séries
   • Fonction zêta de Riemann : [formule] pour [formule]
   • Valeurs particulières : [formule], [formule]
   • Produit eulérien : [formule]
6. Applications
   • Croissances comparées : [formule] en [formule]
   • Intégrale de Gauss : [formule]
   • Volume de la boule unité en dimension [formule] : [formule]

Théorèmes clés

• Formule de Stirling : [formule] quand [formule]
• Théorème de Bohr-Mollerup : la fonction Gamma est l'unique fonction [formule] vérifiant [formule], [formule] et [formule] est convexe
• Formule des compléments : [formule] pour [formule]
• Formule de duplication de Legendre : [formule]

Exemples importants

• [formule] : calculé via [formule] et le changement [formule]
• Formule de Stirling appliquée aux coefficients binomiaux : [formule]
• [formule] : problème de Bâle, prouvé par Euler (produit du sinus ou Parseval)
• Fonction [formule] (dilogarithme) : [formule]
• Intégrales de Fresnel : [formule]

Erreurs courantes

• Confondre [formule] et [formule] : en fait [formule], ce décalage est source d'erreur
• Oublier que le domaine de [formule] est [formule] et pas [formule] entier (pôles en [formule])
• Ne pas bien maîtriser les croissances comparées entre exponentielle, puissances et logarithmes

Conseils du jury

• Le titre dit « exemples » : il faut un grand catalogue de fonctions étudiées, pas seulement exp et log
• La formule de Stirling est un développement classique : savoir la prouver par Wallis ou Laplace
• Connaître les valeurs de [formule] et [formule] et au moins une méthode de calcul

Développements associés

• Fonctions Gamma et Beta
• Formule de Stirling
• Fonction Gamma d'Euler
• Intégrales de Wallis et formule de Stirling

Prérequis

derivation, integration