Leçon 246 — Séries de Fourier. Exemples et applications.

Points clés

• Coefficients de Fourier : [formule]
• Convergence dans [formule] et égalité de Parseval
• Convergence ponctuelle : théorème de Dirichlet (fonction [formule] par morceaux)
• Convergence uniforme : pour les fonctions [formule] périodiques
• Phénomène de Gibbs
• Noyaux de Dirichlet et de Fejér
• Applications : calcul de sommes de séries, équation de la chaleur

Plan

1. Coefficients de Fourier
   • Définition pour [formule] (ou [formule]) périodique
   • Coefficients réels : [formule] avec [formule]
   • Lemme de Riemann-Lebesgue : [formule]
2. Convergence dans [formule]
   • Le système [formule] est une base hilbertienne de [formule]
   • Égalité de Parseval : [formule]
   • Meilleure approximation [formule] par les polynômes trigonométriques
3. Convergence ponctuelle
   • Noyau de Dirichlet : [formule]
   • Théorème de Dirichlet : si [formule] est [formule] par morceaux, [formule]
   • Phénomène de Gibbs au voisinage des discontinuités
4. Convergence uniforme et sommabilité
   • Si [formule] est [formule] et [formule]périodique, [formule] uniformément
   • Noyau de Fejér et moyennes de Cesàro
   • Théorème de Fejér : [formule] uniformément pour [formule] continue périodique
5. Régularité et décroissance des coefficients
   • [formule] implique [formule]
   • [formule] implique [formule] décroît plus vite que tout [formule]
   • Réciproque : si [formule] alors [formule]
6. Applications
   • Calcul de [formule] par Parseval appliqué à [formule]
   • Calcul de [formule]
   • Équation de la chaleur : [formule] et séparation de variables

Théorèmes clés

• Égalité de Parseval : pour [formule], [formule]
• Théorème de Dirichlet : si [formule] est [formule]périodique et [formule] par morceaux, alors pour tout [formule], [formule]
• Théorème de Fejér : si [formule] est continue et [formule]périodique, alors les moyennes de Cesàro [formule] convergent uniformément vers [formule]
• Lemme de Riemann-Lebesgue : si [formule], alors [formule] quand [formule]

Exemples importants

• Série de Fourier de [formule] sur [formule] : [formule], et Parseval donne [formule]
• Série de Fourier de [formule] sur [formule] : [formule]
• Noyau de Poisson et formule de Poisson sur le disque
• Phénomène de Gibbs : au voisinage d'une discontinuité, le dépassement est d'environ [formule]
• Résolution de [formule] sur [formule] : [formule]

Erreurs courantes

• Affirmer que la série de Fourier converge ponctuellement vers [formule] sans hypothèse de régularité (faux en général pour [formule])
• Oublier le facteur [formule] (ou [formule]) dans la définition des coefficients selon la convention choisie
• Confondre convergence [formule] et convergence uniforme des séries de Fourier

Conseils du jury

• Savoir calculer les coefficients de Fourier de fonctions simples ([formule], [formule], créneaux) est indispensable
• Le calcul de [formule] par Parseval est un grand classique que le jury attend
• Connaître le phénomène de Gibbs et l'illustrer montre une compréhension fine de la convergence

Développements associés

• Égalité de Parseval pour les séries de Fourier
• Théorème de Dirichlet
• Convolution et séries de Fourier
• Égalité de Parseval
• Formule de sommation de Poisson
• Théorème de Stone-Weierstrass

Prérequis

series fourier