Leçon 243 — Séries entières, rayon de convergence. Exemples et applications.

Points clés

• Rayon de convergence [formule] et formule de Hadamard : [formule]
• Convergence absolue pour [formule], divergence pour [formule]
• Propriétés de la somme : continuité, dérivabilité, analyticité
• Développements en séries entières des fonctions usuelles
• Théorème d'Abel radial
• Application aux équations différentielles
• Produit de Cauchy de séries entières

Plan

1. Rayon de convergence
   • Lemme d'Abel : si [formule] est borné, alors [formule] converge absolument pour [formule]
   • Définition du rayon de convergence [formule]
   • Formule de Hadamard : [formule]
   • Règle de d'Alembert : [formule] quand cette limite existe
2. Propriétés de la somme
   • Convergence normale sur tout disque fermé [formule] pour [formule]
   • La somme est continue, et même [formule] sur le disque ouvert
   • Dérivation terme à terme : [formule] (même rayon)
3. Développements classiques
   • [formule], [formule], [formule]
   • [formule] pour [formule]
   • [formule] (série du binôme)
4. Théorème d'Abel radial
   • Si [formule] converge, alors [formule]
   • Application : [formule]
   • Théorème taubérien (réciproque partielle, mention)
5. Séries entières et équations différentielles
   • Méthode des coefficients indéterminés
   • Exemple : [formule] donne [formule] et [formule]
   • Fonctions de Bessel (mention)
6. Applications
   • Analyticité des fonctions holomorphes (série de Taylor)
   • Produit de Cauchy : [formule]
   • Exponentielle de matrice [formule]

Théorèmes clés

• Lemme d'Abel : si [formule] est bornée pour un certain [formule], alors [formule] converge absolument pour tout [formule]
• Formule de Hadamard : le rayon de convergence de [formule] est [formule]
• Dérivation terme à terme : pour [formule], [formule] et le rayon de convergence est le même
• Théorème d'Abel radial : si [formule] converge (avec [formule]), alors [formule]

Exemples importants

• Série géométrique [formule] pour [formule] : la série entière la plus simple
• Série exponentielle [formule] : rayon [formule]
• [formule] : rayon [formule], diverge en [formule] ([formule]), converge en [formule] ([formule] par Abel)
• [formule] : rayon [formule] (ne converge qu'en [formule])
• Résolution de [formule] par séries entières : polynômes de Legendre

Erreurs courantes

• Conclure sur la convergence au bord du disque avec la seule formule de Hadamard (le comportement au bord nécessite une étude supplémentaire)
• Oublier que le rayon de convergence de [formule] est le même que celui de [formule]
• Appliquer Abel radial sans vérifier la convergence de [formule]

Conseils du jury

• Connaître les développements classiques par cœur et savoir les retrouver rapidement
• Le théorème d'Abel est souvent posé en question : savoir le démontrer ou au moins en donner l'idée
• Avoir un exemple d'application aux EDO est très apprécié (Bessel, Legendre, Hermite)

Développements associés

• Séries entières et équations différentielles
• Théorème d'Abel
• Formule intégrale de Cauchy
• Séries génératrices
• Produit de Cauchy de séries
• Récurrences linéaires

Prérequis

series entieres