Leçon 239 — Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre.

Points clés

• Fonction Gamma : [formule]
• Fonction Bêta : [formule]
• Relation [formule]
• Transformée de Fourier : [formule]
• Transformée de Laplace : [formule]
• Régularité des fonctions ainsi définies
• Application aux équations différentielles et aux probabilités

Plan

1. Cadre et théorèmes de régularité
   • Rappel : continuité, dérivabilité, holomorphie sous le signe intégral
   • Conditions de domination
   • Classe [formule] et [formule]
2. La fonction Gamma
   • Définition et domaine : [formule] pour [formule]
   • Relation fonctionnelle : [formule] et [formule]
   • Classe [formule], log-convexité, formule de Stirling
3. La fonction Bêta
   • Définition : [formule] pour [formule]
   • Symétrie : [formule]
   • Formule fondamentale : [formule]
4. Transformée de Fourier
   • Définition sur [formule]
   • Propriétés : lemme de Riemann-Lebesgue, convolution
   • Régularité : [formule] à décroissance rapide implique [formule]
5. Transformée de Laplace
   • Définition et abscisse de convergence
   • Holomorphie dans le demi-plan de convergence
   • Application aux EDO et aux systèmes
6. Applications
   • Intégrale de Gauss via [formule]
   • Formule des compléments : [formule]
   • Fonction caractéristique d'une loi normale et transformée de Fourier de [formule]

Théorèmes clés

• Relation fonctionnelle de Gamma : [formule] pour tout [formule], et [formule] pour [formule]
• Formule Bêta-Gamma : [formule] pour [formule]
• Formule de Stirling : [formule] quand [formule]
• Formule des compléments d'Euler : [formule] pour [formule]
• Lemme de Riemann-Lebesgue : si [formule], alors [formule] quand [formule]

Exemples importants

• [formule] (via l'intégrale de Gauss et le changement [formule])
• [formule] et lien avec [formule]
• Transformée de Fourier de [formule] : c'est elle-même ([formule])
• Transformée de Laplace de [formule] : [formule]
• Volume de la boule unité en dimension [formule] via la fonction Gamma : [formule]

Erreurs courantes

• Confondre le domaine de définition de [formule] ([formule]) et son prolongement méromorphe
• Oublier de justifier la domination pour montrer la classe [formule] de [formule]
• Se tromper dans les conventions de la transformée de Fourier (facteur [formule])

Conseils du jury

• Connaître les principales valeurs de [formule] : [formule], [formule], [formule]
• Savoir démontrer la relation Bêta-Gamma est un développement classique très apprécié
• Le jury apprécie le lien entre ces fonctions et les probabilités (lois Gamma, Bêta, normale)

Développements associés

• Fonction Gamma d'Euler
• Transformée de Fourier dans L¹
• Théorème de convergence dominée
• Dérivation sous le signe intégral
• Fonctions Gamma et Beta

Prérequis

integration, convergences integrales