Leçon 221 — Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles.

Points clés

• Structure de l'espace des solutions : espace affine de dimension [formule]
• Wronskien et indépendance linéaire des solutions
• Méthode de variation de la constante
• Systèmes à coefficients constants : [formule] et exponentielle de matrice
• Réduction de l'ordre et systèmes scalaires d'ordre [formule]
• Stabilité et comportement asymptotique des solutions

Plan

1. Équations linéaires scalaires d'ordre [formule]
   • Forme générale : [formule]
   • Structure : solution générale = solution particulière + solution de l'homogène
   • Dimension de l'espace des solutions homogènes : [formule]
2. Systèmes différentiels linéaires [formule]
   • Existence et unicité globale (Cauchy-Lipschitz linéaire)
   • Matrice résolvante et système fondamental de solutions
   • Wronskien : formule d'Abel-Liouville
3. Systèmes à coefficients constants
   • [formule] : solution [formule]
   • Calcul de [formule] par réduction (diagonalisation, Jordan)
   • Équation scalaire d'ordre [formule] à coefficients constants : polynôme caractéristique
4. Variation de la constante
   • Principe : chercher la solution sous la forme [formule]
   • Formule de Duhamel
   • Application aux équations du second ordre
5. Comportement asymptotique et stabilité
   • Systèmes à coefficients constants : lien entre stabilité et valeurs propres de [formule]
   • Stabilité asymptotique : toutes les valeurs propres de partie réelle strictement négative
   • Stabilité au sens de Lyapunov (mention)
6. Applications et exemples
   • Oscillateur harmonique amorti : [formule]
   • Systèmes couplés de ressorts
   • Équation d'Euler : [formule]

Théorèmes clés

• Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire : pour [formule] avec [formule] et [formule] continues, la solution du problème de Cauchy existe et est unique sur tout l'intervalle de définition
• Formule d'Abel-Liouville : le wronskien [formule]
• Stabilité asymptotique pour [formule] ([formule] constante) : les solutions tendent vers [formule] si et seulement si toutes les valeurs propres de [formule] ont une partie réelle strictement négative
• Formule de Duhamel : la solution de [formule], [formule] est [formule]

Exemples importants

• Oscillateur harmonique [formule] : solution [formule]
• Équation d'Airy : [formule] (solutions par séries entières)
• Système [formule] : rotation, solutions périodiques
• Équation d'Euler [formule] : changement de variable [formule] pour se ramener à coefficients constants
• Oscillateur amorti forcé : résonance quand la fréquence d'excitation égale la fréquence propre

Erreurs courantes

• Oublier que les solutions d'une EDO linéaire d'ordre [formule] forment un espace affine (et non vectoriel) quand il y a un second membre
• Confondre le wronskien nul en un point et partout : par Abel-Liouville, si [formule] alors [formule] pour tout [formule]
• Appliquer la méthode de variation de la constante sans avoir un système fondamental de solutions de l'homogène

Conseils du jury

• Maîtriser le calcul de l'exponentielle de matrice sur des exemples concrets ([formule] et [formule])
• Savoir résoudre complètement une EDO du second ordre à coefficients constants avec second membre
• Le jury apprécie qu'on fasse le lien entre l'EDO scalaire d'ordre [formule] et le système différentiel de dimension [formule]

Développements associés

• Wronskien et indépendance linéaire
• Équations différentielles et systèmes
• Théorème de Cauchy-Lipschitz
• Courbes à courbure et torsion prescrites
• Exponentielle de matrices
• Formules de Frenet-Serret
• Lemme de Gronwall
• Séries entières et équations différentielles

Prérequis

eq diff lineaires