Leçon 214 — Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites.

Points clés

• Différentielle d'une application de [formule] dans [formule]
• Théorème d'inversion locale : énoncé précis et preuve
• Difféomorphisme local et conditions suffisantes
• Théorème des fonctions implicites : énoncé et lien avec l'inversion locale
• Sous-variétés de [formule] définies implicitement
• Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange
• Applications géométriques

Plan

1. Rappels de calcul différentiel
   • Différentielle, matrice jacobienne
   • Classe [formule] et régularité
   • Difféomorphismes
2. Théorème d'inversion locale
   • Énoncé : si [formule] est [formule] et [formule] est inversible, alors [formule] est un [formule]difféomorphisme local en [formule]
   • Idée de preuve par le point fixe de Banach
   • Version [formule] : si [formule] est [formule] alors le difféomorphisme local est [formule]
3. Théorème des fonctions implicites
   • Énoncé : si [formule] et [formule] inversible, il existe [formule] de classe [formule] telle que [formule]
   • Démonstration à partir du théorème d'inversion locale
   • Calcul de la différentielle de la fonction implicite
4. Sous-variétés
   • Sous-variétés de [formule] définies comme [formule]
   • Espace tangent
   • Exemples : sphère [formule], tore, etc.
5. Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange
   • Condition nécessaire : [formule]
   • Justification par le théorème des fonctions implicites
   • Conditions suffisantes (hessienne bordée)
6. Applications
   • Équation [formule] et courbes implicites dans le plan
   • Changements de coordonnées (polaires, sphériques)
   • Application au théorème du rang constant

Théorèmes clés

• Théorème d'inversion locale : soit [formule] de classe [formule] avec [formule] inversible. Alors il existe des voisinages ouverts [formule] de [formule] et [formule] de [formule] tels que [formule] soit un [formule]difféomorphisme
• Théorème des fonctions implicites : soit [formule] de classe [formule] avec [formule] et [formule]. Alors il existe [formule] de classe [formule] définie au voisinage de [formule] telle que [formule] et [formule]
• Multiplicateurs de Lagrange : si [formule] admet un extremum en [formule] sous les contraintes [formule] avec [formule] indépendantes, alors [formule]

Exemples importants

• Application [formule] : difféomorphisme local car [formule]
• Équation implicite [formule] : [formule] fonction implicite de [formule] au voisinage de tout point où [formule]
• Maximisation de [formule] sous la contrainte [formule] par Lagrange
• La sphère [formule] est une sous-variété de dimension [formule]
• Changement en coordonnées polaires : [formule] est un difféomorphisme local pour [formule]

Erreurs courantes

• Oublier que l'inversion locale est un résultat local : [formule] inversible n'implique pas que [formule] est un difféomorphisme global
• Ne pas vérifier l'hypothèse de régularité des contraintes dans Lagrange ([formule] doivent être indépendantes)
• Confondre condition nécessaire et suffisante pour les extrema liés

Conseils du jury

• Savoir démontrer le théorème d'inversion locale via le point fixe de Banach est très valorisé
• Bien maîtriser le calcul de la différentielle de la fonction implicite par différentiation de [formule]
• Avoir des applications géométriques concrètes (courbes, surfaces) en plus des applications d'optimisation

Développements associés

• Théorème d'inversion locale
• Théorème des fonctions implicites
• Théorème du point fixe de Banach
• Exponentielle de matrices
• Racine carrée d'une matrice

Prérequis

calcul differentiel