Leçon 205 — Espaces complets. Exemples et applications.

Points clés

• Suite de Cauchy et définition de la complétude
• Théorème du point fixe de Banach-Picard
• Théorème de Baire et conséquences
• Exemples : [formule], [formule], [formule], [formule] complets
• Complété d'un espace métrique
• Séries absolument convergentes dans un Banach
• Applications aux équations intégrales et aux EDO

Plan

1. Définitions et premières propriétés
   • Suite de Cauchy dans un espace métrique
   • Espace complet (de Banach si normé, de Hilbert si préhilbertien)
   • Critère de Cauchy : caractérisation de la complétude
2. Exemples fondamentaux
   • [formule] est complet (axiome de la borne supérieure)
   • [formule] muni de [formule] est un espace de Banach
   • Espaces [formule] et [formule] : théorème de Riesz-Fischer
   • Sous-espace fermé d'un complet est complet
3. Théorème du point fixe de Banach
   • Énoncé : toute contraction d'un espace métrique complet a un unique point fixe
   • Démonstration constructive par itération
   • Vitesse de convergence géométrique
4. Applications du point fixe
   • Théorème de Cauchy-Lipschitz (existence et unicité pour les EDO)
   • Équations intégrales de Fredholm et Volterra
   • Théorème d'inversion locale (idée de preuve)
5. Théorème de Baire
   • Énoncé : intersection dénombrable d'ouverts denses est dense
   • Application : existence de fonctions continues nulle part dérivables
   • Théorème de Banach-Steinhaus (principe d'uniforme bornitude)
6. Complétion et séries
   • Théorème de complétion d'un espace métrique
   • Caractérisation : un evn est complet ssi toute série absolument convergente converge
   • Application : [formule] comme complété de [formule]

Théorèmes clés

• Théorème du point fixe de Banach : si [formule] est un espace métrique complet et [formule] est k-contractante ([formule]), alors [formule] admet un unique point fixe, limite de toute suite itérée [formule]
• Théorème de Baire : dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense (de façon équivalente, un complet n'est pas réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide)
• Un espace vectoriel normé est complet si et seulement si toute série absolument convergente est convergente
• Théorème de Banach-Steinhaus : si [formule] est une suite d'opérateurs linéaires continus d'un Banach [formule] dans un normé [formule] telle que [formule] pour tout [formule], alors [formule]

Exemples importants

• [formule] n'est pas complet : la suite [formule] converge vers [formule]
• Application de Banach-Picard aux EDO : preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz local
• L'espace [formule] n'est pas complet : on peut construire une suite de Cauchy pour [formule] convergeant vers une fonction discontinue
• Théorème de Baire appliqué : [formule] si les [formule] sont fermés d'intérieur vide, donc [formule] est indénombrable
• Résolution de [formule] par point fixe pour [formule] petit

Erreurs courantes

• Confondre complet et compact : [formule] est complet mais pas compact
• Oublier que le point fixe de Banach nécessite une contraction stricte ([formule]) et pas seulement [formule]
• Appliquer Baire sans vérifier la complétude de l'espace

Conseils du jury

• Le point fixe de Banach est un développement classique : savoir le démontrer rapidement et donner la vitesse de convergence
• Bien connaître les applications variées de Baire : fonctions nulle part dérivables, Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte
• Montrer qu'on connaît des espaces non complets et expliquer pourquoi la complétude est essentielle

Développements associés

• Théorème du point fixe de Banach
• Théorème de Baire et applications
• Applications du théorème de Baire
• Théorème de Cauchy-Lipschitz
• Théorème d'inversion locale
• Point fixe et suites itérées
• Théorème de Riesz-Fréchet en Hilbert

Prérequis

espaces normes, compacite