Espace complet (de Banach si normé, de Hilbert si préhilbertien)
Critère de Cauchy : caractérisation de la complétude
Exemples fondamentaux
[formule] est complet (axiome de la borne supérieure)
[formule] muni de [formule] est un espace de Banach
Espaces [formule] et [formule] : théorème de Riesz-Fischer
Sous-espace fermé d'un complet est complet
Théorème du point fixe de Banach
Énoncé : toute contraction d'un espace métrique complet a un unique point fixe
Démonstration constructive par itération
Vitesse de convergence géométrique
Applications du point fixe
Théorème de Cauchy-Lipschitz (existence et unicité pour les EDO)
Équations intégrales de Fredholm et Volterra
Théorème d'inversion locale (idée de preuve)
Théorème de Baire
Énoncé : intersection dénombrable d'ouverts denses est dense
Application : existence de fonctions continues nulle part dérivables
Théorème de Banach-Steinhaus (principe d'uniforme bornitude)
Complétion et séries
Théorème de complétion d'un espace métrique
Caractérisation : un evn est complet ssi toute série absolument convergente converge
Application : [formule] comme complété de [formule]
Théorèmes clés
Théorème du point fixe de Banach : si [formule] est un espace métrique complet et [formule] est k-contractante ([formule]), alors [formule] admet un unique point fixe, limite de toute suite itérée [formule]
Théorème de Baire : dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense (de façon équivalente, un complet n'est pas réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide)
Un espace vectoriel normé est complet si et seulement si toute série absolument convergente est convergente
Théorème de Banach-Steinhaus : si [formule] est une suite d'opérateurs linéaires continus d'un Banach [formule] dans un normé [formule] telle que [formule] pour tout [formule], alors [formule]
Exemples importants
[formule] n'est pas complet : la suite [formule] converge vers [formule]
Application de Banach-Picard aux EDO : preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz local
L'espace [formule] n'est pas complet : on peut construire une suite de Cauchy pour [formule] convergeant vers une fonction discontinue
Théorème de Baire appliqué : [formule] si les [formule] sont fermés d'intérieur vide, donc [formule] est indénombrable
Résolution de [formule] par point fixe pour [formule] petit
Erreurs courantes
Confondre complet et compact : [formule] est complet mais pas compact
Oublier que le point fixe de Banach nécessite une contraction stricte ([formule]) et pas seulement [formule]
Appliquer Baire sans vérifier la complétude de l'espace
Conseils du jury
Le point fixe de Banach est un développement classique : savoir le démontrer rapidement et donner la vitesse de convergence
Bien connaître les applications variées de Baire : fonctions nulle part dérivables, Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte
Montrer qu'on connaît des espaces non complets et expliquer pourquoi la complétude est essentielle