Leçon 204 — Connexité. Exemples et applications.

Points clés

• Connexité : pas de partition en deux ouverts non vides
• Connexité par arcs et lien avec la connexité
• Composantes connexes et composantes connexes par arcs
• Théorème des valeurs intermédiaires comme conséquence
• Image continue d'un connexe est connexe
• Connexité des ouverts convexes de [formule]
• Applications à [formule], [formule]

Plan

1. Définitions et premières propriétés
   • Espace connexe : pas de partition en deux ouverts non vides disjoints
   • Parties connexes de [formule] : les intervalles
   • Connexité par arcs : définition
2. Connexité par arcs et connexité
   • Connexe par arcs implique connexe
   • Réciproque fausse en général (le graphe du topologiste)
   • Réciproque vraie pour les ouverts de [formule]
3. Opérations sur les connexes
   • Image continue d'un connexe est connexe
   • Produit de connexes est connexe
   • Adhérence d'un connexe est connexe
4. Composantes connexes
   • Définition et propriétés
   • Composantes connexes par arcs
   • Exemples : composantes connexes de [formule]
5. Théorème des valeurs intermédiaires et généralisations
   • TVI comme conséquence de la connexité de [formule]
   • Version topologique : image continue d'un connexe est connexe
   • Application : tout polynôme réel de degré impair a une racine réelle
6. Applications
   • [formule] a deux composantes connexes ([formule] et [formule])
   • [formule] a deux composantes connexes ([formule] et le reste)
   • Application en analyse : domaines de [formule] et fonctions holomorphes

Théorèmes clés

• Les parties connexes de [formule] sont exactement les intervalles (segments, demi-droites, [formule])
• Théorème des valeurs intermédiaires : si [formule] est continue et [formule], alors il existe [formule] tel que [formule]
• Tout ouvert connexe de [formule] est connexe par arcs
• Image continue d'un connexe est connexe ; image continue d'un connexe par arcs est connexe par arcs
• [formule] a exactement deux composantes connexes : [formule] et [formule]

Exemples importants

• Le graphe du topologiste [formule] : connexe mais pas connexe par arcs
• Tout convexe de [formule] est connexe par arcs
• [formule] est connexe si et seulement si [formule]
• [formule] est connexe (car connexe par arcs via les opérations élémentaires)
• Le complémentaire d'un hyperplan dans [formule] : deux composantes connexes

Erreurs courantes

• Affirmer que connexe implique connexe par arcs (faux en général, vrai pour les ouverts de [formule])
• Oublier que l'adhérence d'un connexe est connexe mais que l'intérieur d'un connexe peut ne pas être connexe
• Ne pas savoir montrer que [formule] n'est pas connexe (utiliser la continuité du déterminant)

Conseils du jury

• Avoir des exemples en topologie, en algèbre linéaire et en analyse pour montrer la transversalité de la notion
• Le graphe du topologiste est un classique : le connaître et savoir prouver qu'il est connexe mais pas connexe par arcs
• Le jury apprécie qu'on fasse le lien entre TVI et connexité plutôt que de présenter le TVI isolément

Développements associés

• Théorème des valeurs intermédiaires
• Applications de la connexité

Prérequis

connexite, topologie