Leçon 201 — Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Points clés

• Espaces [formule], [formule], et leurs normes naturelles
• Espaces [formule] et [formule] : définition, complétude
• Normes usuelles : norme sup, normes [formule], normes de Sobolev
• Complétude : [formule] est un espace de Banach pour [formule]
• Densité : polynômes denses dans [formule], [formule] dense dans [formule]
• Théorème de Stone-Weierstrass
• Comparaison des topologies entre espaces de fonctions

Plan

1. Espaces de fonctions continues
   • Espace [formule] muni de [formule] : espace de Banach
   • Espaces [formule] et normes associées
   • Espace [formule] et topologie de Fréchet (mention)
2. Espaces [formule] et espaces de suites
   • Construction des espaces [formule] pour [formule]
   • Inégalités de Hölder et Minkowski
   • Espaces [formule] comme cas particulier
3. Complétude et structure de Banach
   • Théorème de Riesz-Fischer : [formule] est complet
   • Complétude de [formule] pour la norme sup
   • Non-complétude de [formule] pour la norme [formule]
4. Résultats de densité
   • Théorème de Stone-Weierstrass
   • Densité de [formule] dans [formule] pour [formule]
   • Densité des polynômes trigonométriques dans [formule]
5. Compacité dans les espaces de fonctions
   • Théorème d'Ascoli : caractérisation des compacts de [formule]
   • Non-compacité de la boule unité en dimension infinie
   • Application à l'existence de solutions d'EDO (Peano)
6. Applications
   • Approximation uniforme de fonctions continues
   • Espaces de Sobolev [formule] (mention)
   • Application à l'analyse fonctionnelle et aux EDP

Théorèmes clés

• Théorème de Stone-Weierstrass : si [formule] est une sous-algèbre de [formule] qui sépare les points de [formule] compact et contient les constantes, alors [formule] est dense dans [formule] pour [formule]
• Théorème de Riesz-Fischer : pour [formule], l'espace [formule] est complet
• Théorème d'Ascoli : une partie [formule] est relativement compacte si et seulement si [formule] est équicontinue et ponctuellement bornée
• Inégalité de Hölder : si [formule] et [formule] avec [formule], alors [formule] et [formule]

Exemples importants

• L'espace [formule] muni de [formule] : espace de Banach séparable
• Les espaces [formule] et [formule] : espaces de Hilbert séparables
• La suite [formule] sur [formule] : convergence simple mais pas uniforme dans [formule]
• Les fonctions en escalier sont denses dans [formule] pour [formule]
• L'espace [formule] est dense dans [formule] pour tout [formule]

Erreurs courantes

• Confondre complétude pour la norme sup et pour la norme [formule] : [formule] est complet pour [formule] mais pas pour [formule]
• Oublier que Stone-Weierstrass nécessite une algèbre (pas seulement un sous-espace vectoriel) qui sépare les points
• Confondre convergence dans [formule] et convergence uniforme

Conseils du jury

• Bien maîtriser les inclusions entre espaces et les comparaisons de normes, notamment [formule] pour [formule] sur un espace de mesure finie
• Préparer plusieurs exemples concrets de fonctions montrant les différences entre espaces
• Le jury apprécie une mention des espaces de Sobolev comme généralisation naturelle

Développements associés

• Théorème de Stone-Weierstrass
• Densité des polynômes
• Théorème d'Ascoli
• Théorème de Baire et applications
• Applications du théorème de Baire
• Convolution et séries de Fourier
• Inégalités de Hölder et Minkowski
• Égalité de Parseval
• Égalité de Parseval pour les séries de Fourier
• Théorème de Plancherel
• Théorème de représentation de Riesz

Prérequis

espaces normes, suites fonctions