Leçon 201 — Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Points clés
Espaces [formule], [formule], et leurs normes naturelles
Espaces [formule] et [formule] : définition, complétude
Normes usuelles : norme sup, normes [formule], normes de Sobolev
Complétude : [formule] est un espace de Banach pour [formule]
Densité : polynômes denses dans [formule], [formule] dense dans [formule]
Théorème de Stone-Weierstrass
Comparaison des topologies entre espaces de fonctions
Plan
Espaces de fonctions continues
Espace [formule] muni de [formule] : espace de Banach
Espaces [formule] et normes associées
Espace [formule] et topologie de Fréchet (mention)
Espaces [formule] et espaces de suites
Construction des espaces [formule] pour [formule]
Inégalités de Hölder et Minkowski
Espaces [formule] comme cas particulier
Complétude et structure de Banach
Théorème de Riesz-Fischer : [formule] est complet
Complétude de [formule] pour la norme sup
Non-complétude de [formule] pour la norme [formule]
Résultats de densité
Théorème de Stone-Weierstrass
Densité de [formule] dans [formule] pour [formule]
Densité des polynômes trigonométriques dans [formule]
Compacité dans les espaces de fonctions
Théorème d'Ascoli : caractérisation des compacts de [formule]
Non-compacité de la boule unité en dimension infinie
Application à l'existence de solutions d'EDO (Peano)
Applications
Approximation uniforme de fonctions continues
Espaces de Sobolev [formule] (mention)
Application à l'analyse fonctionnelle et aux EDP
Théorèmes clés
Théorème de Stone-Weierstrass : si [formule] est une sous-algèbre de [formule] qui sépare les points de [formule] compact et contient les constantes, alors [formule] est dense dans [formule] pour [formule]
Théorème de Riesz-Fischer : pour [formule], l'espace [formule] est complet
Théorème d'Ascoli : une partie [formule] est relativement compacte si et seulement si [formule] est équicontinue et ponctuellement bornée
Inégalité de Hölder : si [formule] et [formule] avec [formule], alors [formule] et [formule]
Exemples importants
L'espace [formule] muni de [formule] : espace de Banach séparable
Les espaces [formule] et [formule] : espaces de Hilbert séparables
La suite [formule] sur [formule] : convergence simple mais pas uniforme dans [formule]
Les fonctions en escalier sont denses dans [formule] pour [formule]
L'espace [formule] est dense dans [formule] pour tout [formule]
Erreurs courantes
Confondre complétude pour la norme sup et pour la norme [formule] : [formule] est complet pour [formule] mais pas pour [formule]
Oublier que Stone-Weierstrass nécessite une algèbre (pas seulement un sous-espace vectoriel) qui sépare les points
Confondre convergence dans [formule] et convergence uniforme
Conseils du jury
Bien maîtriser les inclusions entre espaces et les comparaisons de normes, notamment [formule] pour [formule] sur un espace de mesure finie
Préparer plusieurs exemples concrets de fonctions montrant les différences entre espaces
Le jury apprécie une mention des espaces de Sobolev comme généralisation naturelle