Leçon 170 — Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie.
Points clés
- Forme polaire
- Base orthogonale
- Signature (Sylvester)
- Classification
- Coniques et quadriques
Plan
- Formes bilinéaires et formes quadratiques
- Forme bilinéaire symétrique [formule] et forme quadratique [formule]
- Formule de polarisation
- Matrice d'une forme quadratique
- Noyau et rang
- Radical : [formule]
- [formule]
- Forme non dégénérée
- Réduction : base orthogonale
- Toute forme quadratique admet une base orthogonale
- Algorithme de Gauss (complétion du carré)
- Matrice diagonale
- Signature et théorème de Sylvester
- Loi d'inertie : la signature [formule] est un invariant
- [formule] = nombre de [formule], [formule] = nombre de [formule]
- Classification sur [formule] par la signature
- Classification sur différents corps
- Sur [formule] : par le rang seul
- Sur [formule] : par la signature
- Sur [formule] : par le rang et le discriminant
- Applications
- Coniques et quadriques
- Forme de Killing
- Produit scalaire
Théorèmes clés
- Toute forme quadratique admet une base orthogonale ([formule])
- Loi d'inertie de Sylvester : la signature [formule] est un invariant
- Sur [formule] : classification par le rang
- Sur [formule] : classification par la signature
Exemples importants
- [formule] : signature [formule]
- [formule] : signature [formule], forme de Lorentz
- Forme quadratique d'un produit scalaire : signature [formule]
- [formule] : signature [formule]
Erreurs courantes
- Oublier l'hypothèse [formule]
- Confondre signature et signe du déterminant
- Erreurs dans la complétion du carré
Conseils du jury
- Réduire par complétion du carré est indispensable
- Démonstration de Sylvester est un classique
- Applications géométriques : coniques et quadriques
Développements associés
Prérequis
formes quadratiques