Leçon 161 — Distances et isométries d'un espace affine euclidien.
Points clés
- Distance dans un espace affine
- Isométries : classification
- Déplacements
- Groupe des isométries
- Théorème de Cartan-Dieudonné
Plan
- Distance dans un espace affine euclidien
- Distance [formule]
- Propriétés métriques
- Distance à un sous-espace : projection orthogonale
- Isométries : définition et propriétés
- Isométrie affine : préserve les distances
- Partie linéaire dans [formule]
- Déplacements ([formule]) et antidéplacements ([formule])
- Classification en dimension [formule]
- Déplacements : translations et rotations
- Antidéplacements : réflexions et réflexions glissées
- Tout déplacement du plan est rotation ou translation
- Classification en dimension [formule]
- Déplacements : translations, rotations, vissages
- Antidéplacements : réflexions, rotations-réflexions
- Théorème d'Euler
- Théorème de Cartan-Dieudonné
- Toute isométrie est composée d'au plus [formule] réflexions
- En dim [formule] : au plus [formule]
- En dim [formule] : au plus [formule]
- Applications
- Groupes de symétrie des polyèdres réguliers
- Groupes finis d'isométries du plan
- Pavages et cristallographie
Théorèmes clés
- Cartan-Dieudonné : toute isométrie est composée d'au plus [formule] réflexions
- Structure : [formule]
- Classification dim [formule] : translation, rotation, réflexion, réflexion glissée
- Euler dim [formule] : toute isométrie directe fixant un point est une rotation
Exemples importants
- Réflexion par rapport à une droite dans [formule]
- Rotation = composée de deux réflexions
- [formule] : isométries du polygone régulier, [formule]
- Isométries du cube : [formule] éléments
- Vissage en dimension [formule]
Erreurs courantes
- Composée de deux réflexions = rotation, pas réflexion
- Confondre isométrie vectorielle et affine
- Ne pas distinguer déplacements et antidéplacements
Conseils du jury
- Cartan-Dieudonné : démontrer par récurrence
- Savoir classifier en dim [formule] et [formule]
- Applications géométriques concrètes appréciées
Développements associés
Prérequis
espaces euclidiens, rotations