Toute isométrie affine de dimension [formule] est composée d'au plus [formule] réflexions par rapport à des hyperplans affines (au plus [formule] pour une isométrie vectorielle)
En dim [formule] : au plus [formule] — une réflexion glissée en demande exactement [formule]
En dim [formule] : au plus [formule] — un vissage en demande exactement [formule]
Applications
Groupes de symétrie des polyèdres réguliers
Groupes finis d'isométries du plan
Pavages et cristallographie
Théorèmes clés
Cartan-Dieudonné (affine) : toute isométrie d'un espace affine euclidien de dimension [formule] est composée d'au plus [formule] réflexions par rapport à des hyperplans affines ; la borne vectorielle est [formule], la translation coûte une réflexion de plus
Structure : [formule]
Classification dim [formule] : translation, rotation, réflexion, réflexion glissée
Euler dim [formule] : toute isométrie directe fixant un point est une rotation
Exemples importants
Réflexion par rapport à une droite dans [formule]
Rotation = composée de deux réflexions
[formule] : isométries du polygone régulier, [formule]
Isométries du cube : [formule] éléments
Vissage en dimension [formule]
Erreurs courantes
Composée de deux réflexions = rotation, pas réflexion
Confondre isométrie vectorielle et affine
Ne pas distinguer déplacements et antidéplacements