Leçon 153 — Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme.

Points clés

• Polynôme minimal
• Cayley-Hamilton
• Lemme des noyaux
• Sous-espaces caractéristiques
• Diagonalisation, trigonalisation

Plan

1. Polynôme minimal et polynôme caractéristique
   • Polynôme minimal [formule] : générateur de l'idéal annulateur
   • Polynôme caractéristique [formule]
   • Cayley-Hamilton : [formule], donc [formule]
2. Lemme des noyaux
   • Si [formule] premiers entre eux, [formule]
   • Application : décomposition de Dunford
   • Projections spectrales
3. Sous-espaces caractéristiques
   • Sous-espace propre [formule]
   • Sous-espace caractéristique [formule]
   • Décomposition si [formule] scindé
4. Diagonalisation
   • CNS : [formule] scindé à racines simples
   • CNS : [formule] pour chaque valeur propre
   • Méthode pratique
5. Trigonalisation
   • CNS : [formule] scindé (toujours vrai sur [formule])
   • Forme de Jordan
   • Décomposition de Dunford : [formule], [formule] diag., [formule] nilp., [formule]
6. Applications
   • Calcul de [formule] et [formule]
   • Récurrences linéaires
   • Systèmes différentiels [formule]

Théorèmes clés

• Cayley-Hamilton : [formule]
• Lemme des noyaux : [formule] pour [formule] premiers entre eux
• Décomposition de Dunford (si [formule] scindé sur [formule]) : [formule] unique avec [formule]
• CNS de diagonalisabilité : [formule] scindé à racines simples

Exemples importants

• Matrice compagnon : [formule]
• [formule] : non diagonalisable, Dunford [formule], [formule]
• Calcul de [formule] par diagonalisation
• Cayley-Hamilton pour [formule] : [formule]
• Dérivation sur [formule] : nilpotent d'indice [formule]

Erreurs courantes

• Confondre [formule] et [formule] : [formule] mais pas toujours égaux
• Cayley-Hamilton : [formule] (l'endomorphisme), pas [formule] naïvement
• Appliquer le lemme des noyaux sans vérifier la coprimalité

Conseils du jury

• Cayley-Hamilton : connaître deux preuves (triangulation, comatrice)
• Savoir appliquer Dunford sur un exemple [formule]
• Le jury apprécie le lien polynôme minimal / diagonalisabilité / puissances

Développements associés

• Théorème de Cayley-Hamilton
• Décomposition de Dunford
• Diagonalisation simultanée
• Équations différentielles et systèmes
• Réduction de Jordan
• Algorithme PageRank
• Théorème de Perron-Frobenius
• Projecteurs spectraux
• Récurrences linéaires

Prérequis

reduction endomorphismes, polynomes