Leçon 151 — Sous-espaces affines d'un espace vectoriel. Parallélisme.

Points clés

• Définition axiomatique d'un espace affine et d'un sous-espace affine comme translaté d'un sous-espace vectoriel
• Barycentres : définition, associativité, existence et unicité ; enveloppe barycentrique
• Parallélisme de sous-espaces affines : même direction ou directions incluses ; lien avec l'intersection
• Formule de dimension pour l'intersection de deux sous-espaces affines (quand elle est non vide)
• Applications affines : définition, partie linéaire, le groupe affine [formule]
• Repères affines : [formule] points affinement indépendants déterminent un repère de l'espace affine de dimension [formule]
• Théorèmes classiques de géométrie affine : Thalès, Ménélaüs, Céva

Plan

1. Espaces affines et sous-espaces affines
   • Définition d'un espace affine : ensemble [formule] muni d'une action libre et transitive de [formule]. Notation [formule]
   • Sous-espace affine : [formule] où [formule] et [formule] sous-espace vectoriel de [formule]. [formule] est la direction, [formule]
   • Points, droites, plans, hyperplans affines. Un hyperplan affine est le translaté d'un hyperplan vectoriel
   • Caractérisation : [formule] est un sous-espace affine ssi il est stable par barycentres
   • Indépendance affine : [formule] sont affinement indépendants ssi [formule] est libre
2. Barycentres et combinaisons affines
   • Barycentre de [formule] avec [formule] : point [formule] tel que [formule]
   • Indépendance du choix de l'origine [formule] (grâce à [formule])
   • Associativité des barycentres : regroupement par paquets
   • Sous-espace affine engendré par [formule] : enveloppe barycentrique = [formule]
   • Repère affine de [formule] : [formule] avec [formule] points affinement indépendants. Coordonnées barycentriques
3. Parallélisme et intersection
   • Parallélisme : [formule] ssi [formule] ou [formule] (directions incluses)
   • Deux sous-espaces de même direction sont parallèles (au sens fort) : [formule] ou [formule]
   • Condition d'intersection non vide : [formule] ssi [formule]
   • Formule de dimension : si [formule], [formule]
   • Cas de l'espace [formule] : positions relatives de deux droites (sécantes, parallèles, non coplanaires)
4. Applications affines
   • Définition : [formule] est affine si [formule] définie par [formule] est linéaire
   • Caractérisation par conservation des barycentres : [formule] est affine ssi elle conserve les barycentres
   • Composition d'applications affines : la partie linéaire de [formule] est [formule]
   • Bijection affine : [formule] bijective ssi [formule] est un isomorphisme. Le groupe affine [formule]
   • Toute application affine est entièrement déterminée par l'image d'un repère affine [formule]
   • Translations : [formule], partie linéaire = [formule]. Homothéties : [formule]
5. Théorèmes classiques de géométrie affine
   • Théorème de Thalès : soient deux droites [formule] et [formule] sécantes en [formule], coupées par deux parallèles [formule] et [formule]. Si [formule] coupe [formule] en [formule] et [formule] en [formule], et [formule] coupe [formule] en [formule] et [formule] en [formule], alors [formule]
   • Théorème de Ménélaüs : si [formule] sont sur les côtés (ou prolongements) [formule] d'un triangle, alors [formule] alignés ssi [formule]
   • Théorème de Céva : les céviennes [formule] sont concourantes ssi [formule]
   • Application : concours des médianes, des hauteurs (via le produit scalaire), existence du centre de gravité
6. Applications et compléments
   • Ensemble des solutions d'un système linéaire [formule] : vide si le système est incompatible, sinon [formule] (sous-espace affine de direction [formule])
   • Enveloppe convexe : plus petit convexe contenant un ensemble de points = ensemble des barycentres à coefficients positifs
   • Simplexes : l'enveloppe convexe de [formule] points affinement indépendants dans [formule]
   • Projections affines et décomposition [formule] (somme directe affine)

Théorèmes clés

• Tout sous-espace affine de [formule] s'écrit de manière unique [formule] où [formule] est un sous-espace vectoriel (la direction de [formule]). Deux points de [formule] diffèrent d'un vecteur de [formule]
• Caractérisation des sous-espaces affines : [formule] est un sous-espace affine ssi [formule] est stable par barycentres, c'est-à-dire : pour tous [formule] et [formule], on a [formule]
• Condition d'intersection non vide : [formule] si et seulement si [formule]. Dans ce cas, [formule]
• Théorème de Thalès (forme affine) : une application affine conserve les rapports de distances sur les droites parallèles
• Théorème de Ménélaüs et de Céva : critères d'alignement et de concours dans le triangle, via les rapports sur les côtés
• Toute application affine [formule] est entièrement déterminée par les images de [formule] points affinement indépendants (un repère affine)
• Le groupe affine [formule] agit transitivement sur les repères affines de [formule]. C'est un produit semi-direct : [formule]

Exemples importants

• Droite affine dans [formule] : [formule] avec [formule] n'est pas un sous-espace vectoriel (ne contient pas l'origine)
• Plan affine dans [formule] : [formule], de direction [formule]
• L'ensemble des solutions de [formule] : vide si [formule], sinon [formule] (structure affine fondamentale de l'algèbre linéaire)
• Centre de gravité du triangle : [formule], intersection des médianes (application de Céva)
• Coordonnées barycentriques dans un triangle : tout point du plan s'écrit [formule] avec [formule]
• Simplexe standard de [formule] : [formule], enveloppe convexe des vecteurs de la base canonique et de l'origine
• Homothétie [formule] : application affine de partie linéaire [formule], point fixe [formule]. Pour [formule] : symétrie centrale

Erreurs courantes

• Confondre sous-espace affine et sous-espace vectoriel : un sous-espace affine ne contient pas nécessairement l'origine. Un sous-espace vectoriel est un sous-espace affine passant par [formule]
• Oublier que l'intersection de deux sous-espaces affines peut être vide (contrairement au cas vectoriel où [formule] est toujours commun)
• Ne pas distinguer combinaison linéaire ([formule], pas de contrainte) et combinaison affine ([formule] avec [formule])
• Confondre le parallélisme au sens strict ([formule] et directions incluses) et le parallélisme au sens large (directions incluses, intersection possible si égalité)
• Oublier de vérifier la condition [formule] pour que le barycentre soit bien défini (indépendant de l'origine)

Conseils du jury

• Faire le lien entre algèbre et géométrie est très apprécié : montrer que les systèmes linéaires [formule] ont une interprétation géométrique naturelle en termes de sous-espaces affines
• Savoir démontrer le théorème de Thalès en utilisant les outils de la géométrie affine (barycentres, applications affines) et pas seulement les proportions du collège
• Le jury attend des théorèmes de géométrie classique (Ménélaüs, Céva) comme illustrations naturelles de la leçon. Savoir les démontrer en coordonnées barycentriques
• Ne pas oublier la structure de produit semi-direct du groupe affine : [formule]. C'est un point d'algèbre apprécié
• Avoir un exemple de calcul concret (par exemple : trouver l'intersection de deux droites affines dans [formule] ou vérifier si trois droites sont concourantes)

Développements associés

• Théorème de Thalès et applications
• Barycentres et applications
• Formule de dimension pour les sous-espaces affines
• Classification des isométries du plan euclidien
• Théorèmes de Ceva et Ménélaüs
• Théorème de Desargues

Prérequis

espaces vectoriels, applications lineaires, dimension somme intersection, systemes lineaires