Leçon 151 — Sous-espaces affines d'un espace vectoriel. Parallélisme.
Points clés
Définition axiomatique d'un espace affine et d'un sous-espace affine comme translaté d'un sous-espace vectoriel
Barycentres : définition, associativité, existence et unicité ; enveloppe barycentrique
Parallélisme de sous-espaces affines : même direction ou directions incluses ; lien avec l'intersection
Formule de dimension pour l'intersection de deux sous-espaces affines (quand elle est non vide)
Applications affines : définition, partie linéaire, le groupe affine [formule]
Repères affines : [formule] points affinement indépendants déterminent un repère de l'espace affine de dimension [formule]
Théorèmes classiques de géométrie affine : Thalès, Ménélaüs, Céva
Plan
Espaces affines et sous-espaces affines
Définition d'un espace affine : ensemble [formule] muni d'une action libre et transitive de [formule]. Notation [formule]
Sous-espace affine : [formule] où [formule] et [formule] sous-espace vectoriel de [formule]. [formule] est la direction, [formule]
Points, droites, plans, hyperplans affines. Un hyperplan affine est le translaté d'un hyperplan vectoriel
Caractérisation : [formule] est un sous-espace affine ssi il est stable par barycentres
Indépendance affine : [formule] sont affinement indépendants ssi [formule] est libre
Barycentres et combinaisons affines
Barycentre de [formule] avec [formule] : point [formule] tel que [formule]
Indépendance du choix de l'origine [formule] (grâce à [formule])
Associativité des barycentres : regroupement par paquets
Sous-espace affine engendré par [formule] : enveloppe barycentrique = [formule]
Repère affine de [formule] : [formule] avec [formule] points affinement indépendants. Coordonnées barycentriques
Parallélisme et intersection
Parallélisme : [formule] ssi [formule] ou [formule] (directions incluses)
Deux sous-espaces de même direction sont parallèles (au sens fort) : [formule] ou [formule]
Condition d'intersection non vide : [formule] ssi [formule]
Formule de dimension : si [formule], [formule]
Cas de l'espace [formule] : positions relatives de deux droites (sécantes, parallèles, non coplanaires)
Applications affines
Définition : [formule] est affine si [formule] définie par [formule] est linéaire
Caractérisation par conservation des barycentres : [formule] est affine ssi elle conserve les barycentres
Composition d'applications affines : la partie linéaire de [formule] est [formule]
Bijection affine : [formule] bijective ssi [formule] est un isomorphisme. Le groupe affine [formule]
Toute application affine est entièrement déterminée par l'image d'un repère affine [formule]
Translations : [formule], partie linéaire = [formule]. Homothéties : [formule]
Théorèmes classiques de géométrie affine
Théorème de Thalès : soient deux droites [formule] et [formule] sécantes en [formule], coupées par deux parallèles [formule] et [formule]. Si [formule] coupe [formule] en [formule] et [formule] en [formule], et [formule] coupe [formule] en [formule] et [formule] en [formule], alors [formule]
Théorème de Ménélaüs : si [formule] sont sur les côtés (ou prolongements) [formule] d'un triangle, alors [formule] alignés ssi [formule]
Théorème de Céva : les céviennes [formule] sont concourantes ssi [formule]
Application : concours des médianes, des hauteurs (via le produit scalaire), existence du centre de gravité
Applications et compléments
Ensemble des solutions d'un système linéaire [formule] : vide si le système est incompatible, sinon [formule] (sous-espace affine de direction [formule])
Enveloppe convexe : plus petit convexe contenant un ensemble de points = ensemble des barycentres à coefficients positifs
Simplexes : l'enveloppe convexe de [formule] points affinement indépendants dans [formule]
Projections affines et décomposition [formule] (somme directe affine)
Théorèmes clés
Tout sous-espace affine de [formule] s'écrit de manière unique [formule] où [formule] est un sous-espace vectoriel (la direction de [formule]). Deux points de [formule] diffèrent d'un vecteur de [formule]
Caractérisation des sous-espaces affines : [formule] est un sous-espace affine ssi [formule] est stable par barycentres, c'est-à-dire : pour tous [formule] et [formule], on a [formule]
Condition d'intersection non vide : [formule] si et seulement si [formule]. Dans ce cas, [formule]
Théorème de Thalès (forme affine) : une application affine conserve les rapports de distances sur les droites parallèles
Théorème de Ménélaüs et de Céva : critères d'alignement et de concours dans le triangle, via les rapports sur les côtés
Toute application affine [formule] est entièrement déterminée par les images de [formule] points affinement indépendants (un repère affine)
Le groupe affine [formule] agit transitivement sur les repères affines de [formule]. C'est un produit semi-direct : [formule]
Exemples importants
Droite affine dans [formule] : [formule] avec [formule] n'est pas un sous-espace vectoriel (ne contient pas l'origine)
Plan affine dans [formule] : [formule], de direction [formule]
L'ensemble des solutions de [formule] : vide si [formule], sinon [formule] (structure affine fondamentale de l'algèbre linéaire)
Centre de gravité du triangle : [formule], intersection des médianes (application de Céva)
Coordonnées barycentriques dans un triangle : tout point du plan s'écrit [formule] avec [formule]
Simplexe standard de [formule] : [formule], enveloppe convexe des vecteurs de la base canonique et de l'origine
Homothétie [formule] : application affine de partie linéaire [formule], point fixe [formule]. Pour [formule] : symétrie centrale
Erreurs courantes
Confondre sous-espace affine et sous-espace vectoriel : un sous-espace affine ne contient pas nécessairement l'origine. Un sous-espace vectoriel est un sous-espace affine passant par [formule]
Oublier que l'intersection de deux sous-espaces affines peut être vide (contrairement au cas vectoriel où [formule] est toujours commun)
Ne pas distinguer combinaison linéaire ([formule], pas de contrainte) et combinaison affine ([formule] avec [formule])
Confondre le parallélisme au sens strict ([formule] et directions incluses) et le parallélisme au sens large (directions incluses, intersection possible si égalité)
Oublier de vérifier la condition [formule] pour que le barycentre soit bien défini (indépendant de l'origine)
Conseils du jury
Faire le lien entre algèbre et géométrie est très apprécié : montrer que les systèmes linéaires [formule] ont une interprétation géométrique naturelle en termes de sous-espaces affines
Savoir démontrer le théorème de Thalès en utilisant les outils de la géométrie affine (barycentres, applications affines) et pas seulement les proportions du collège
Le jury attend des théorèmes de géométrie classique (Ménélaüs, Céva) comme illustrations naturelles de la leçon. Savoir les démontrer en coordonnées barycentriques
Ne pas oublier la structure de produit semi-direct du groupe affine : [formule]. C'est un point d'algèbre apprécié
Avoir un exemple de calcul concret (par exemple : trouver l'intersection de deux droites affines dans [formule] ou vérifier si trois droites sont concourantes)